《高等数学（I）》期中考试试卷(2016-2017-1)1

【高等数学（I）】期中考试试卷涵盖了多个核心知识点，包括函数的定义域、极限、间断点类型、导数、微分方程、泰勒级数、极值、等价无穷小以及曲线的性质。 1. 函数定义域的扩展：题目提到"(1,2]"函数的定义域，通过运算或限制可以找到新函数的定义域，这是考察对函数运算后定义域变化的理解。 2. 极限计算：考察了不同类型的极限，如xe^(-x)当x趋于负无穷的极限，要求掌握极限的基本计算法则和特殊函数的极限特性。 3. 间断点分类：根据函数在某点的左极限、右极限及函数值判断该点的间断点类型，如sin(2/x)在x=0处的间断点类型。 4. 导数与微分：涉及到多元函数的偏导数、隐函数求导、高阶导数以及反函数的导数。例如，由sin(xy)=y求y'，或者由2ln(1+x)+y=x求dy/dx。 5. 泰勒级数与泰勒多项式：要求求解泰勒多项式的系数，以及利用泰勒公式展开ln(cos(x))。 6. 极值问题：如求函数3x^3-6x^2+3x的最大值，需要应用极值定理和一阶导数判别法。 7. 曲线的性质：如凸区间、水平渐近线，需要理解函数的二阶导数与其图形凹凸性的关系，以及如何通过函数的渐近行为确定渐近线。 8. 等价无穷小：比如当x趋于0时，判断f(x)-x^n与sin(2x)是等价无穷小，需要用到洛必达法则或泰勒展开。 9. 数列的收敛性证明：如数列1/(n^2)的收敛性，这涉及到了数列极限的概念。 10. 不等式证明：证明1/(1^n) + 1/(2^n) + ... + 1/(n^n) < ln(n+1)，需要用到积分和比较法。 11. 泰勒公式的应用：展开ln(f(x))关于x的n阶泰勒公式，并求拉格朗日余项，要求掌握泰勒公式及其误差分析。 解答题和证明题则需要综合运用以上知识，对具体问题进行分析和计算，展示对高等数学基本概念、定理和方法的深刻理解和熟练应用。