数值分析考试范围1
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数值分析是计算机科学和工程领域中的重要分支,主要研究如何用数值方法近似解决数学问题。本考试范围涉及的主要知识点如下: ### 第一部分:误差分析 1. **误差分类**:包括模型误差、方法误差(截断误差)、舍入误差、测量误差。理解它们的区别,如模型误差源于理论模型的不完善,方法误差由算法简化引起,舍入误差由数字表示限制造成,测量误差则来源于实验或数据采集过程。 2. **误差的传播与积累**:了解误差在计算过程中的行为,稳定性的概念,即误差不会因计算而放大。 ### 第二部分:数值计算 1. **泰勒插值**:理解其基本原理,了解泰勒插值要解决的问题,但不需深入掌握插值余项的推导,能应用拉格朗日插值条件计算插值结果。 2. **插值余项**:记住其形式,了解其在插值中的作用。 3. **埃特金算法**:不考插商计算,但要能利用插商性质解决问题。 4. **差分**:理解向前差分、向后差分、中心差分的定义,掌握等距节点的牛顿公式。 5. **埃尔米特插值**:会根据给定的函数值和微分值求解插值结果,利用承袭性。 6. **分段插值与样条函数**:重点是三次样条函数,理解其性质,但不需掌握求解过程。 ### 第三部分:数值积分 1. **数值积分公式**:掌握左矩形、右矩形、中矩形、梯形、辛普生公式,理解求积节点和求积系数。 2. **代数精度**:理解其概念,能证明不同公式对应的代数精度。 3. **牛顿-科特斯公式**:仅需掌握等距节点的特性,理解其代数精度和余项。 4. **复合求积公式**:了解复合梯形和辛普生公式的计算,但不考余项。 ### 第四部分:常微分方程的差分方法 1. **微分方程求解方法**:理解李普希兹条件,区分单步法、多步法、显示公式和隐式公式。 2. **欧拉方法**:掌握显式欧拉、隐式欧拉和改进欧拉方法。 3. **龙格-库塔方法**:了解其单步法特性,会计算公式。 4. **亚当姆斯格式**:重点,能构造方法并与龙格-库塔法结合使用。 5. **收敛性与稳定性**:理解其定义,但不考证明。 ### 第五部分:方程求根的迭代法 1. **压缩影像定理**:掌握其证明,理解局部收敛性。 2. **牛顿迭代法**:了解公式和二阶局部收敛性。 3. **迭代过程加速**:不考埃特金算法。 ### 第六部分:线性方程组的迭代法 1. **迭代法**:如高斯-赛德尔迭代和雅可比迭代,能计算迭代步骤。 2. **超松弛法**:能进行代数操作。 3. **矩阵范数**:理解不同范数(1范数、无穷范数、2范数、p范数)的定义及性质,了解条件数的概念。 ### 第七部分:线性方程组的直接法 1. **直接解法**:理解低阶稠密矩阵的消去法,大型稀疏矩阵的迭代法。 2. **列主元高斯消去法**:掌握求解过程。 这些是数值分析考试的主要内容,要求考生对各种误差类型有清晰的认识,掌握数值计算和微分方程求解的基本方法,同时具备处理线性方程组的能力。在准备过程中,务必熟练应用上述知识点,理解并能灵活运用相关公式和概念。
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