利用几何变换证明拿破仑定理(exercise1.5.23)1
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2022-08-03
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利用几何变换来证明拿破仑三角形
叶卢庆
*
杭州师范大学理学院, 浙江 杭州 310036
2014 年 3 月 1 日
定理 (拿破仑三角形). 如图,ABC 是任意三角形. 在三条边上分别向外作三个正三角形. 三个正三角形的
中心分别为 L, I, O. 则 LIO 是个正三角形.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b
F
b
I
b
L
b
O
b
P
b
Q
证明. 由于将 C 绕着 L 逆时针旋转
2π
3
后会得到 A,A 绕着 I 逆时针旋转
2π
3
后会得到 B,B 绕着 O 逆时
针旋转
2π
3
后会重新得到 C. 因此将 L 绕着 L 逆时针旋转
2π
3
得到 L,L 绕着 I 逆时针旋转
2π
3
得到 P ,P
绕着 O 逆时针旋转
2π
3
会重新得到 L. 因此可得 IL = IP ,OL = OP , 且 ∠LIP = ∠LOP =
2π
3
. 现在选
取 LP 的中点 Q, 易得 IQ 垂直于 LP ,OQ 垂直于 LP , 因此 IQP 共线. 因此易得 ∠LIQ = ∠LOQ =
π
3
,
于是 LIO 是正三角形.
*
叶卢庆 (1992—), 男, 杭州师范大学理学院数学与应用数学专业本科在读,E-mail:h5411167@gmail.com
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