"黑箱"方法，其内部工作机制往往难以理解。然而，随着数学理论的深入发展，我们开始揭示机器学习背后的科学原理，特别是在与科学计算相结合时，它展现出了强大的潜力。
本资料主要探讨了机器学习在科学计算中的应用以及相关数学理论的基础。介绍机器学习在解决计算科学问题中的算法，例如非线性多网格方法和蛋白质折叠问题。非线性多网格方法通过多尺度策略来优化求解复杂问题，而蛋白质折叠是生物计算中的一个关键挑战，机器学习可以提供更有效的预测模型。
接下来，讨论了机器学习在高维科学计算问题中的应用，如随机控制和非线性偏微分方程。随机控制问题在金融工程、物理等领域中至关重要，而机器学习能处理高维空间中的复杂决策过程。非线性偏微分方程则广泛存在于物理、化学等多个领域，机器学习的介入可以改进数值求解的精度和效率。
针对气体动力学的动理学方程，介绍了利用机器学习进行矩闭合的方法。矩闭合是理解和模拟复杂流体行为的关键，机器学习能够捕捉非线性和动态特性，从而提高模拟的准确度。
在数学理论部分，对基于神经网络的监督学习进行了介绍，包括其基本概念和在函数逼近理论中的角色。函数逼近理论是理解神经网络能力的基础，它解释了为何神经网络能在高维空间中高效逼近任意复杂函数。此外，还探讨了估计误差和正则化模型的先验估计，这些是保证学习算法稳定性和泛化能力的重要概念。
从连续视角看机器学习，将函数表示和优化问题视为流的动力学系统。这涉及到随机优化问题、梯度流的概念及其离散化。梯度流在优化过程中起着核心作用，它们与最优控制问题相结合，为流动基表示提供了理论基础。
总结性地，机器学习不仅在人工智能领域取得显著成果，而且正在改变科学计算的面貌。通过与数学理论的深度融合，我们可以更深入地理解机器学习的工作机制，并将其应用于解决更为复杂和实际的科学问题。未来，这一领域的研究将继续深化，进一步推动科学计算和机器学习的交叉发展。
