xdhu 2
3. 最优性条件 - 无约束
定理 20. 设函数 f(x) 在点 x* 处可微。若存在一个向量 d 满足
f(x*)d < 0，则存在一个实数
> 0 使得，对任意
(0,
)，有
f(x*+
d) f(x*)，即 d 是函数 f(x) 在点 x* 处的一个下降方向。
证明. (练习) 因为函数 f(x) 在点 x* 处可微，所以有
f(x*+
d) =f(x*) +
f(x*) d+
||d||
(x*;
d)，
其中当
0 时，
(x*;
d) 0。等式两边同除
，即可得证。
定理 21 (一阶必要条件) 设函数 f(x) 在点 x* 处可微。若 x*是一
个局部最小解，则 f(x*) = 0。
证明. (练习) 若 f(x*) 0，则取 d = – f(x*)。再由定理 20，
即可得证。
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