chapter8 图1

【章节概述】 本章主要探讨了图这一重要的数据结构，包括图的基本概念、存储表示、遍历、连通性、最小生成树以及最短路径等关键主题。这些内容广泛应用于计算机科学和技术，尤其是网络分析中。 【图的基本概念】 1. **定义**：图由一组顶点（vertices）和它们之间的关系（edges）构成，形式化表示为Graph=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。 2. **顶点**：顶点可以代表任何数据对象，V中的元素是顶点。 3. **边**：边是顶点间的关系，可以是有向或无向。在有向图中，边表示为有序顶点对(x, y)，而在无向图中，边是无序的(x, y)。 4. **完全图**：无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边。 5. **权**：如果图的边带有数值，即为权，这样的图称为网络。 6. **邻接顶点**：两个顶点若通过一条边相连，则互为邻接顶点。 7. **子图**：如果一个图的顶点集和边集都是另一个大图的子集，那么它是大图的子图。 8. **顶点的度**：顶点的度是与其关联的边的数量。在有向图中，度等于入度和出度之和。 9. **入度与出度**：入度是到达某顶点的有向边数，出度是从某顶点出发的有向边数。 10. **路径**：路径是图中从一个顶点到另一个顶点的连续边序列。 【图的存储表示】 图的存储通常分为两种基本方式：邻接矩阵和邻接表。 1. **邻接矩阵**：用二维数组表示，矩阵的行和列对应图中的顶点，矩阵中的元素表示顶点间是否存在边及其权重。 2. **邻接表**：对于每个顶点，维护一个列表，列出与其相邻的所有顶点。这种方式节省空间，特别适用于稀疏图（边相对较少的情况）。 【图的遍历与连通性】 1. **深度优先搜索（DFS）**：从一个顶点开始，沿着边向下探索，直到无法再深入时返回上一步，再选择其他未访问过的邻接顶点。 2. **广度优先搜索（BFS）**：从一个顶点开始，逐层访问所有相邻顶点，先访问离起点近的顶点。 3. **连通性**：如果图中任意两个顶点可以通过边路径相连，则图是连通的。反之，若存在无法到达的顶点，则为不连通图。 【最小生成树】 1. **最小生成树**：在加权无向图中，找到一棵包括所有顶点且边的权重之和最小的树。常用算法有Prim算法和Kruskal算法。 【最短路径】 1. **最短路径**：在加权图中，寻找两个顶点间的路径，使得路径上的边的权重之和最小。Dijkstra算法常用于求单源最短路径，Floyd-Warshall算法则可解决所有顶点对的最短路径问题。 2. **活动网络**：在网络计划技术中，图的顶点表示活动，边表示活动间的依赖关系，时间参数被赋予边，目的是找出最优执行顺序，如关键路径法（CPM）。 这些图论概念和算法在解决各种实际问题，如交通网络规划、资源分配、任务调度等方面有着广泛应用。理解并掌握这些知识对于理解和解决复杂系统的问题至关重要。