求特征值和特征向量1

"矩阵特征值和特征向量计算" 本文将讲述矩阵特征值和特征向量的计算方法，包括 Krylov 序列、Arnoldi 分解、Lanczos 分解和 Rayleigh-Ritz 方法。这些方法都是计算矩阵特征值和特征向量的重要工具。 1.Krylov 序列 Krylov 序列是计算矩阵特征值和特征向量的重要工具。假设 A 是一个 n 阶矩阵，l 是满足（）的最小整数，那么 Krylov 序列在第 l 项终止，且 lKA n 是 A 的一个 m 维不变子空间。 2.Arnoldi 分解 Arnoldi 分解是计算矩阵特征值和特征向量的重要方法。假设 A 是一个 n 阶矩阵，k 是一个整数，那么 Arnoldi 分解可以写成： µ ()14.2.7kkkAQQH+= 其中 µk 是上 Hessenberg 矩阵，HQ 是一个上 Hessenberg 矩阵。 3.Lanczos 分解 Lanczos 分解是计算对称矩阵特征值和特征向量的重要方法。当 n 阶矩阵 A 是对称矩阵时，在 Arnoldi 分解中，其关于 kQ 的 Rayleigh 商是对称三角阵： []1212111212122212=,,,TTkkTkTTTkTTTkTTTkkkkqqHA q qqqq Aqq Aqq Aqq Aqq Aqq Aqq Aqq Aqq Aq 对应的 Arnoldi 分解变为： 1TkkkkkkAQQ Tqeb+=+ 4.Rayleigh-Ritz 方法 Rayleigh-Ritz 方法是计算实数对称矩阵特征向量的重要方法。假设 A 是一个 n 阶矩阵，那么 Ritz 值和 Ritz 向量可以定义为： mB yym= 其中 m 是 Ritz 值，而 uVy= 是 Ritz 向量。 基本步骤： 1. 计算子空间的一组标准正交基[]; 2. 计算 Rayleigh 商 TmBV AV=; 3. 计算 mB 的特征值，并选择其中若干所需的作为 A 的近似特征值； 4. 计算 jm 所对应的特征向量 jy ，并形成 Ritz 向量 jjuVy=。 这些方法都是计算矩阵特征值和特征向量的重要工具，每种方法都有其优缺，选择合适的方法取决于具体的应用场景。