Lec21-特征值和特征向量1
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2022-08-03
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第 21 课 特征值和特征向量
特征值与特征向量初探
给定矩阵 ，矩阵 乘以向量 ，就像是使用矩阵 作用在向量 上，最后得到新的向量 。在这
里，矩阵 就像是一个函数，接受一个向量 作为输入，给出向量 作为输出。
在这一过程中，我们对一些特殊的向量很感兴趣，也即 和 始终保持同一个方向，这是比较特殊
的，因为在大多情况下， 与 指向不同的方向。
在这种特殊的情况下， 平行于 ，我们把满足这个条件的非零向量 称为 特征向量，而 为
的特征值。这个平行条件用方程表示就是：
对这个式子，我们试着计算特征值为 的特征向量，易得 ，因此，特征值为 的特征向
量位于 的零空间中。
显然对于奇异矩阵（不可逆），必然存在非零向量使得 ，所以若矩阵是奇异的，那么它有一个
特征值为 。
我们先来看投影矩阵 的特征值和特征向量。
用向量 乘以投影矩阵 得到投影向量 ，在这个过程中，只有当 本身已经处于投影平
面（即 的列空间）中时， 才可能与 是同向的，此时 投影前后完全相同（
）。因此，投影平面（ 的列空间）中的所有向量都是投影矩阵的特征向量，且它们的特征
值为 。
再来观察投影平面的法向量，也即向量 。既然向量 与投影平面垂直，那么必然有
，任何向量都与 向量是同向的。因此，投影平面的所有法向量（ 的左零空间）也
同样是投影矩阵的特征向量，且它们的特征值为 。
综上可知，投影矩阵 的特征值为 。
再看另外一个例子，二阶置换矩阵 ，经过这个矩阵处理的二维向量 ，其元素会互
相交换，即： 会变为 。若交换后的 是初始向量 与一个因子的乘积，那
么根据特征值和特征向量的定义可知：
有特征值为 的特征向量（即经过矩阵交换元素前后仍然不变），型为 。
有特征值为 的特征向量（即经过矩阵交换元素前后方向相反），型为 。
就此例，我们提前说一些特征值的性质：
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