矩阵求导术（上） - 知乎1

在机器学习和优化领域，矩阵求导术是不可或缺的基础工具，尤其在处理涉及矩阵运算的复杂函数时。本文主要探讨了标量对矩阵求导的基本概念、运算法则及其应用。以下是对标题和描述中所述知识点的详细说明： 1. **矩阵导数的定义**： 标量函数f对矩阵X的导数定义为一个矩阵，其元素是f对X每个元素的偏导数。然而，这种逐元素求导的方式在处理复杂的函数时并不方便。为了保持运算的整体性，引入了矩阵导数与微分的关系，即全微分可以表示为导数与微分矩阵的内积，其中tr代表迹。 2. **矩阵微分的运算法则**： - **加减法**：导数矩阵遵循线性运算规则。 - **逆**：矩阵的逆与其导数的乘积是负的，即d(X^(-1)) = -X^(-1) * dX * X^(-1)。 - **行列式**：矩阵的行列式与其导数的乘积加上原行列式乘以伴随矩阵与导数的乘积等于零。 - **逐元素乘法**：两个矩阵的元素乘积的导数是它们各自导数的逐元素乘积。 - **逐元素函数**：对矩阵的逐元素函数求导，可以使用元素级导数。 3. **迹技巧**： - **标量套上迹**：标量函数乘以迹等于迹乘以函数。 - **转置**：转置操作不影响导数。 - **线性**：线性函数的导数是常数矩阵。 - **矩阵乘法交换**：在特定条件下，矩阵乘法与导数可以交换位置。 4. **复合函数求导**： 当Y是X的函数时，通过微分来建立复合法则。不能直接使用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数未定义。需要从微分出发，用Y关于X的微分表达式代入，并利用已知的运算法则和迹技巧。 5. **示例计算**： - 例1展示了如何求解涉及矩阵乘法的函数的导数，需要使用矩阵乘法法则，注意矩阵乘法交换的限制。 - 例2解释了如何处理包含向量和矩阵的复合函数，强调不能直接将导数与矩阵乘法混淆。 理解这些基本概念和规则对于理解和应用矩阵求导术至关重要，特别是在解决机器学习中的优化问题和推导模型的梯度时。在实际计算中，必须遵循这些法则，避免对矩阵导数进行非法操作。矩阵求导术不仅适用于理论分析，也在实践中发挥着关键作用，如反向传播算法在神经网络中的应用。