矩阵求导术（上） - 知乎专栏1

在机器学习、统计学和控制论等领域，矩阵求导术是一项至关重要的技术。它涉及到对矩阵函数进行微分，以理解和优化复杂的数学模型。本文主要介绍标量对矩阵的求导，即上篇内容，主要知识点包括定义、运算法则和一些实际应用。 1. **定义**： 标量函数f关于矩阵X的导数定义为一个矩阵，其中每个元素是f对X相应元素的偏导数。但由于逐元素求导在计算和理论上的局限性，我们需要寻找一个整体的处理方式。 2. **与微分的联系**： 类似于一元微积分中的导数与微分的关系，矩阵导数也可以与微分建立联系。例如，矩阵的导数可以通过迹(Trace)与微分相结合的方式表示。 3. **运算法则**： - **加减法**：函数的加减导数等于各自导数的加减。 - **逆矩阵**：导数等于矩阵乘以其导数的负转置。 - **行列式**：对于可逆矩阵，导数等于行列式的线性组合，其中包含伴随矩阵。 - **逐元素乘法**：两个矩阵逐元素乘积的导数等于它们导数的逐元素乘积。 - **逐元素函数**：标量函数应用于矩阵的每个元素，导数是该函数导数与矩阵导数的逐元素乘积。 4. **迹技巧**： - **标量套上迹**：将导数乘以迹可以简化表达式。 - **转置**：某些情况下，通过转置可以调整导数的结构。 - **线性**：线性函数的导数是其系数矩阵。 - **矩阵乘法交换**：矩阵乘法的微分可以通过交换法则简化。 5. **复合函数**： 由于矩阵对矩阵的导数尚未定义，我们不能直接应用链式法则。复合函数的导数需要直接从微分开始推导，然后使用已建立的规则和迹技巧。 6. **示例**： - **线性回归**：求目标函数关于参数的导数，涉及矩阵乘法和范数的求导。 - **多元逻辑回归**：涉及到softmax函数和向量的log操作，需利用逐元素函数的求导法则。 理解并掌握这些基本概念和规则是进行矩阵求导的关键。它们不仅在理论上有重要价值，还在实际问题的求解中起到核心作用，比如在机器学习模型的优化过程中。通过这些方法，我们可以有效地计算和理解模型的梯度，从而实现参数更新和模型性能的提升。