DLT算法整理1

DLT（Direct Linear Transformation）算法是一种在计算机视觉和机器人定位中用于解决 Perspective-n-Point (PnP) 问题的方法。PnP 问题旨在确定相机相对于已知三维点集的位置和姿态。DLT 算法不同于其他如 P3P（Perspective-Three-Point）、EPnP（Efficient Perspective-n-Point）等算法，它不考虑点的深度信息，而是通过建立参考点在世界坐标系和像素坐标系之间的坐标变换关系来直接求解相机的外参数。 参考点从世界坐标系转换到像素坐标系的关系可以表示为： $$ s_iu_i = K[R|t]\mathbf{p}_i^w $$ 其中 $s_i$ 是尺度参数，$u_i = [u_iv_i1]^T$ 是参考点在像素坐标系下的坐标，$K$ 是相机内参矩阵，$[R|t]$ 是待求的相机位姿（外参数），$\mathbf{p}_i^w = [x_i^wy_i^wz_i^w1]^T$ 是参考点在世界坐标系下的坐标。 将 $K[R|t]$ 表示为一个3x4的投影矩阵 $T$，即 $T = [t_1\ T_t\ t_3]^T$，其中 $t_1, t_2, t_3$ 分别是3x1的列向量。这样可以将上述关系简化为： $$ u_i \times T\mathbf{p}_i^w = 0 $$ 进一步展开并利用反对称矩阵形式，我们可以得到一个线性方程组，其中每个参考点提供两个约束。为了求解 $t$ 的12个元素，至少需要6个参考点。所有参考点组成的方程组可以表示为 $A_t = 0$。在实际应用中，由于噪声的存在，通常需要寻找最小化 $||At||$ 的近似解，这可以通过求解 $A^TA$ 的最小特征值对应的单位特征向量或使用SVD分解得到最小奇异值对应的单位奇异向量来实现。 在实际问题中，为了减小噪声影响，参考点坐标通常进行归一化处理，使其位于原点附近，然后通过逆变换得到未归一化的投影矩阵。通过内参矩阵 $K$ 和尺度参数 $s$ 来得到最终的位姿矩阵 $[R|t]$，其中 $s$ 通过 $J_{34}$ 的符号函数确定，以消除尺度不确定性。 总结来说，DLT 算法是一种解决PnP问题的早期方法，虽然计算量较小，但可能带来较大的误差。它通过构建几何约束来求解相机的外参数，通过处理多个参考点的坐标关系，最终得到相机相对于世界坐标的旋转和平移矩阵。在实际应用中，通常需要结合归一化、噪声抑制等技术来提高精度。