4．3 向量组的线性相关性1
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2022-08-03
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4．3 向量组的线性相关性
定义 4．6 给定向量组
12
: , , ,
m
A
，如果存在不全为零的数
m
kkk ,,,
21
，使
1 1 2 2
0
mm
k k k
+ + + =
，
则称向量组
A
是线性相关的，否则称为线性无关．
向量
线性相关
0
=
；向量
线性无关
0
．
几何意义：两个 2 维向量
12
,
线性相关是指两个平面向量
12
,
共线；两个 3 维向
量
12
,
线性相关是指两个空间向量
12
,
共线；三个 3 维向量
1 2 3
,,
线性相关是指
三个空间向量
1 2 3
,,
共面．
向量组
12
: , , ,
m
A
构成矩阵
( )
12
, , ,
m
A
=
，向量组
A
线性相关，等价于
齐次线性方程组
1 1 2 2
0
mm
x x x
+ + + =
即
0Ax =
有非零解．换言之，向量组
A
线性无关，等价于齐次线性方程组
1 1 2 2
0
mm
x x x
+ + + =
即
0Ax =
只有零解．
例 3．1
n
维单位坐标向量组
n
eee ,,,
21
线性无关．
证 设有数
n
xxx ,,,
21
，使
0
2211
=+++
nn
exexex
，即
( )
0,,,
21
=
T
n
xxx
，
故
0
21
====
n
xxx
，所以
n
eee ,,,
21
线性无关．
例 3．2 含有零向量的向量组线性相关．
证 设向量组为
12
0, , , ,
m
，则有不全为零的数
1, 0, 0, , 0
，使
12
1 0 0 0 0 0
m
+ + + + =
，
所以向量组
12
0, , , ,
m
线性相关．
例 3．3 设
1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1
, , ,
= + = + = + = +
，证明：向量组
1 2 3 4
, , ,
线性相关．
证 由于
1 3 2 4
+ = +
，所以向量组
1 2 3 4
, , ,
线性相关．
例 3．4 设
n
维向量组
12
: , , ,
m
A
线性无关，
P
为
n
阶可逆矩阵，证明：
12
, , ,
m
P P P
也线性无关．
证 用反证法．如若不然，假设
12
, , ,
m
P P P
线性相关，则齐次线性方程组
1 1 2 2
0
mm
x P x P x P
+ + + =
挽挽深铃
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