四川大学《线性代数3》历年期末试题汇总1
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2022-08-04
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班序号： 学院： 学号： 姓名：王松年 1
写在前面：
1.答案里说的课本指的是由四川大学数学学院编写的《线性代数》（中国人民大学出版社）。
2.仅供内部参考使用，请勿将此文档上传到百度文库以及其同类网站上。
3.由个人整理，如果发现错误或有更好的解题方法请发送邮件至 2905816868@qq.com.
习题课上总结的一些题
一. 求矩阵的 m 次方。（这里之所以写 m 是为了与矩阵的阶数 n 区别开来，以防混淆）
1. 数学归纳法。即依次求出 A, A
2
, A
3
, · · · 。一般不用，但也有特殊情况（例如 17-18 年半期测试的一大题的
第四小题，当然这个题有两种解法，任选其一；15-16 年的期末试题三大题的第二小题的最后一问）。
2. 对角矩阵的 m 次方。（显然不会单独出题）
设 A =
a
11
a
22
.
.
.
a
nn
，则 A
m
=
a
m
11
a
m
22
.
.
.
a
m
nn
.
3. 如果一个 n 阶方阵 A主对角线上以及主对角线的一侧元素全为 0，那么必有 A
k
= 0 ，其中 k ≥ n。即 A
是下边的几种形状之一：(一定要注意是针对主对角线，副对角线该结论不成立，第二次习题课讲这里时讲错了，
后边已更正)
0 a
12
a
13
· · · a
1n
0 0 a
23
· · · a
2n
0 0 0 · · · a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
a
21
0 0 · · · 0
a
31
a
32
0 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
n3
· · · 0
例如：若 A =
0 0 0
2 0 0
1 3 0
，则 A
2
=
0 0 0
0 0 0
6 0 0
, A
3
= 0 .
解：
由矩阵的乘法：
A
2
=
0 0 0
2 0 0
1 3 0
0 0 0
2 0 0
1 3 0
=
0 0 0
0 0 0
6 0 0
A
3
= A
2
A =
0 0 0
0 0 0
6 0 0
0 0 0
2 0 0
1 3 0
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
♢
4. 一般来说，上边的 2,3 不会单独出题，因为太过简单，都是组合起来出题。
二项式定理：(a + b)
n
=
n
P
i=0
C
i
n
a
i
· b
n−i
, 式中：C
i
n
为组合数，C
i
n
=
n!
i!(n − i)!
。
例如：若 A =
1 2 3
0 1 4
0 0 1
, 则 A
m
= .
解：
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