往年线性代数考研试题.pdf

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往年线性代数考研试题.pdf 数学一 线性代数集锦 几何与代数习题
打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303@seu.edu.cn—张小向3 0001 1000 21数三/四设4 ,1a2a)3a 0100 0010 B PI 0010 P? 0100 其 a 42 1000 0001 中A可逆,则B等于(C) (A)A P1P2. (B)P1A P2.(C)PIP2A. D)P2A PI H數三改A是n阶矩阵,a是n维列向量,若秩 秩(4,则线性方程组(D) (A)Ax=a必有无穷多解 (B)4x=a必有唯一解 A A (C) =0仅有零解.(D) 0必有非零解 oy 0|y 4D2款一设有三张不同平面的方程anx+aay+az=b,l=1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与 增广矩阵的秩都为2,则这三张半血可能的位置关系为(B) (B 6D2款三设向量组a,a2a线性无关,向量可由a,a2a线性表示,而向量B不能由a1,a2,a1线性表示 则对于任意常数k,必有(A) (A)a,a2,a3,kB1+2线性无关.(B)a,a,a,B-B线性相关 (C)a1,a2,a,月kB线性无关.(①D)a,a,an,B1+k2线性相关 7数三设A是mX矩阵,B是mXm矩阵,则线性方程组(ABx=0(D) (A)当n>m时仅有零解.(B)当n>m时必有非零解 (C)当m>n时仅有零解.(D)当m>n时必有非零解 8.D2数三设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是A的属于特征佰的特征向量 则矩阵(PAP)属于特征值的特征向量是(B) (A)Pa. (B)P a. (C)Pa. D)(P)a 9数叫设AB为刀阶矩阵,A,B“分别为A,B对应的伴随矩阵,分块矩阵C=AO OB,则C的件随矩 阵C*=(D) LAJA O (B)/B/B* BB* O AA AB (C) BIA B A (D) 0|A|B* 103数一/设向量组a,a,…,m可由向量组A,B…,B线性表示,则D) (A)当r≤s时,向量组Ⅱ必线性相关.(B)当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关 (C)当r≤s时,向量组I必线性相关.(D)当r>s时,向量组I必线性相关 1因3款设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mxn矩阵,现有4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(4)≥秩(B) ②若秩4)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(4)=秩(B) ④若秩(4)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的是(B) (A)①2.(B)①③.(C)②2④.(①D)③④ 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303@seu.edu.cn—张小向 a b b 12数三设三阶矩阵A=bab,若A的伴随矩阵的秩等于,则必有(c) bb a (A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b≠0. (C)a≠b且a+2b=0.(D)a≠b且a+2b≠0. 133数三设a,a2…,a均为n维向量,下列结论不正确的是(B) (A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,k,都有k1a1+k2a2+….+ka≠0,则an,a2,…,a线性无 关 (B)若an,a,…,.以线性相关,则对」任意一组不全为零的数k,k2,…,k,都有k1a+k2a2+…+k、c= 0 (C)a,a,…,a线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (D)a,a2,…,ax线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 001 143数四设矩阵B=010.已知矩阵A相似于B,则秩(4-2E)与秩(4-E)之和等」(C) 100 (A)2. B)3 (C)4. D)5 5数一设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C则满 足AQ=C的可逆矩阵Q为(D) 010 010 (A)100.(B)101.()100 D 00 64数一/设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有(A) (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 17数三烟设n阶矩阵A与B等价,则必有(卫) (A)当4-a(a≠0)时,B-a.(B)当A=a(a≠0)时,B|=-a (C)当4≠0时,B|=0 (D)当A=0时,B=0 18数马设n阶矩阵A的伴随知阵A*≠0,若5点,5,5是齐次线性方程组Ax=b的不相等的解 则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(B) (A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量 19数一/二三设A,A2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a,a2,则a,A(1+a1)线性 无关的充分必要条件是(B) (A)元1≠0. (B)A≠0 (C)A1=0 (D)A2=0 20.05数一/二设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A,B分别为A,B的件随 知阵,则(C (A)交换A*的第1列与第2得矩阵B*.(B)交换A*的第1行与第2行得矩阵B ③◇()交换』*的第列与第2列得矩阵-B*.(D交换A*的第1行与第2行得矩阵-B* s款三设矩阵A=(a)3满足A*=A,其中4为A的伴随矩阵,A为A的转置矩阵,若a1,a12a3为 三个相等的正数,则au为(A) (A) (B)3 (D)√3 2.15数四设A,B.C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) (AE (B)-E. (C)A (D)-4 23.56数一/股ma2,…,a均为n维列向量,A是mXn矩阵,下列选项正确的是(△ (A)若a1,a,…,w线性相关,则Aa1,Aa,,Aa线性相关 (B)若α,αh,…,以线性相关,则Aa1,Aa,…,4a线性尢关 (C)若a1,a2,…,a线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aa线性相关 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303@seu.edu.cn—张小向 (D)若a1,a2…,a线性无关,则Aa,Aa2…,Aa线性无关 24.[6款—仁三设A为3阶舞阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的1倍加到第2列 得C,记P=1010,则(旦) 001 (A)C=P AP. (B)C=PAP. (C)C=PAP. (D)C=PAP 25款一///四设向量组aa2a2线性无关,则下列向量组线性相关的是(A) 1)a1-a2, (B)al+ a2, a2+a3, a3+ a (C)1-2a2,a-2a3,a-2a1,①D)a1+2m,+2a,a+2a 2-1 l00 26p7数一/闫四设矩阵A--12-1,B=010·则4与B(旦) l-12 000 (A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)既不合同也不相似 278数一/二层/四设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A2=0,则(C) (A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-4不可逆,E+A可逆 (C)EA4可逆,E+A可逆 (D)EA可逆,E+A不可逆 28.8数一设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x1y,24y|=1在正交变换下的标准方程的图形如 图则A的正特征值个数为(B) (A)0 (B)1. (C)2 (D)3 298数二/三四设A 则在实数域上与4合同的矩阵为(D) -2 2 A) (B) (C) (D) 300数一设a,a2,a是3维向量空间R的一组基,则由基m,a2,a3到基a+a2a2+a,a+a1的过 渡矩阵为(A 244 222 (A)220 033 246 4 2 6 3L,p数一/二闫,B为2阶矩阵,,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A=2,B=3,则分块矩/4 IB O 的伴随矩阵为(B O3B非 02B菜 0 34 02A米 A 2A O 3A 0 2B 0 (D) 3B* 0 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303@seu.edu.cn—张小向 100 32.⑨款二闫设A,P均为3阶矩阵,P为P的转置矩阵,且PAP=010,若P=(a1,an,a),Q 002 (a-a2,a,a3),则Q4Q为(A) 210 200 100 (A)|110 B)120 (C) (D)|020 002 002 002 002 计算题 山数设a,a2…a为线性程组Ax=0的一个基础解系,B=1a+ta2,=a+03,…,B=1a +120,其中1,为实常数.试问t,t满足什么关系时尻,B2…,也为线性方程组Ax=0的一个基础解 系 解:a,2,,.a为线性方程组Ax=0的个基础解系→a,a2,,.线性无关 t100 0 =1an+0,B2=1a+2g,…,属=1a-121→(月,B,…,B)=(a,,…,a)0121…0 000 00 t 令P=012t…0,则.,B,…,B也为线性方程组4x=0的一个基础解系台月,B2…,B也线 000 性无关台P可逆台P≠0 00 00 000……t2 t10 而P=0241…0=410241…0 0 000 0 (-1)h20042 +(-1) 000 s为偶数时,P|=n3-123,此时角,B2,…,B也为线性方程组Ax=0的一个基础解系令l1≠土1 当s为奇数时,P=1+123,此时B1,B2,…区也为线性方程组Ax=0的个基础解系>1≠-12 2数一知3阶矩阵A与三维向量x使得向量组x,Ax,Ax线性无关,日满足Ax-3Ax-2fx (1)记P=(x,Ax,Ax,求3阶矩阵B使A=PBP (2)计算行刎式A+E 000 解:(1)因为AP=Ax,4x,A2x)=(4x,Ax,Ax)=(4x,A2x,34x-242x)=(x,Ax,42x)103 000 所以B=PAP=103 01-2 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印/复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303asεu.edu.cn—一张小向7 100 2)4+E=P BP+E=P (B+ E)P=PlIB+El P=P.B+E P=B+E 01 0 011 3数三已知矩阵A-10,B=101.且矩阵X满足AX4+BXB=ANB-B4+E,其中E是 3阶单位矩阵,求X. l12 解:A=110|,B=101→4-B=01-1→(4-B)=01 111 l10 00 00 112「1121125 AXA+ BXB=AXB+ BXA+=(A-B)(A-B)=E=X=(A-B)2=011011=012 00100 00 4薮三已知a,aa3a为线性方程组Ax=0的个基础解系,若=a1+1B=a+1a1,B=a+ a4,R4=a4+1a1,讨论实数t满足什么条件时月,B,B,B4也为线性方程组Ax=0的一个基础解系 解:ω,a,α3,a4为线性方程组Ax=0的一个基础解系→a1,a,a3,a线性无关 100t 月=a+a,月=a+10,=a+1a,B=a4+11→(A,B,B,A)=(an,a,B,)100 0t10 100t 100 令P=100 t100 t10-t|t10 0t10 P 0t10 0t10t1 00t 月,,B,B4也为线性方程组Ax=0的一个基础解系兮B,B2,B,月也线性无关兮P可逆P≠0今 t≠士1 a 5但数三/四没矩阵A=1a1|,p 已知线性方程组Ax=解但不唯一,试求 (1)a的值.(2)正交矩阵Q使QAQ为对角矩阵. l1a|2+a2+a2+a 解:(1)|=1a1 l1al=(2+a)0 当a≠-2且a≠1时,A4≠0.此时线性方程组Ax=角唯一解 1-2 21×(1) 当a=-2时,(A,月=1-21 1-2 0-330 0000 0000 此时秩(4)=秩(4,B=2<3,线性方程组Ax=有解但不唯 111×(-1) 当a=1时,(A,B=1111 0000 000-3 000 0000 此时秩(4)=1,秩(A,B=2,线性方程组Ax=B无解 根据题设条件可知a=-2 A-1-12 24 (-2) 2)E-4=-12+2-1 1A+2-1|=4-12+2-1 2-1 2-12 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303@seu.edu.cn—张小向 210x+30=(-3)+3) 0-32-3 由此可得A的特征值为x1=3,A2=-3,43=0. (3E-4x=0的个基础解系为与=(-1,0,1) (-3EA)x=0的一个基础解系为与=(1,-2,1) (0EAx=0的一个基础解系为与=(1,1,1 5,,是两两正交的引=√2,‖=√6,‖=√3 33333 q1=( 0, q 636 6√31 300 Q=(q1,g,q)=0 则Q为正交矩阵且Q4910-30 000 61数三设A为n阶实对称阵,秩()-n,A,是A-(a1)x中元素a的代数余子式(,)-1,2,…,n)2二次 型f(x,x2,,x) X.r. (1)记x=(x1,x2,…,x),把x1,x2,…xn)写成矩阵形式,并证明二次型x)的矩阵为A1 (2)二次型g(x)x2Ax与fx)的规范形是否相同?说明理由 解:(1)因为A为n阶实对称阵,秩(A)=n,所以A≠0且A可逆.于是由A4*=4E可知A*=441(其中 A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵),而且由 (A-)A=(4)A2=(A)=E=E 叮知(4)=A,即A也是对称矩阵 JAA x,x2,…,x)=∑ 团/4x=(x,x2,…,x)A4… A AA A AA A 其中A|A A, A 由此可见二次型fx)的矩阵为A (2)设A的止负惯性指数分别为p,a,则由秩(A)=n可知p+q=n,于是存在可逆矩阵C使得 C Ac 0-E 其中En,E分别为P阶,q阶单位矩阵.从而有 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303@seu.edu.cn—张小向 E o E O CA(C)=CA(C=(CAC) 0-E 0-E 叮见二次型g(x)=xAx与fx)的规范形是否相同 7薮四设a=(an,an,…,an)(=1,2,…,r<川)是n维实向量,且a1,a2,…,a线性无关.已知B=(b 1x1+a12x2+…+a1nx=0, ,D是线性方程组(421+42++2x=0的非零解向量,试判断向量组a,2…的 1 0 线性相关性 解:假若α,α2,…,a,线性相关,则由a,a2…,a线性无关可知由a1,a2,…,c1线性衣示,于是可设 A-(a1,a,…,a,B=4 又因为是线性方程组Ax=0的解,即AB=0.从而有所=B=(4)(Ay)=yAAy=yAB=0.这 与足是非零向量矛盾!此矛盾表明向量组a,a2,…,a,B是线性无关的 8n款一/三已知4阶方阵A=(a1,,a,a),a,a2,a,D均为4维向量,其中a,a1线性无关,a1=2a a,如果β=a++∞3+a,求线性方程组Ax=的通解 解:,,a线性无关→秩(A)=秩(a1,a,a,a)≥3 a=2a2-3→a1,a1,a3,线性相关→秩(4)=秩(an,a2,a3,a1)<4 综上可知秩(4)=3,因而齐次线性方程组Ax=0的棊础解系中只有一个解向量 ax=2a2-∞→a1-2a2+∞+0a=0→=(1,-2,1,0)7是Ax=0的非零解 B=an+a+a3+a4→矿=(1,1,1,1)是Ax=的的特解 因而Ax-的通解为n-k(1,2,1,0)1-(1,1,1,1),其中k为任意实数 ax1+bx2+bx3+…+bxn=0 9.款三设齐次线性方程组 bx1+ax2+bx3+…+bxn=0 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时, bx +bx +bx +.tax =0 方程组仅有零解,有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出仝部解,并用棊础解系表示仝部解. ab…ba+(n-1)ba+(n-1)b…:a+(m-1)b b 解:令A= bb 6 b b 0 a-b 0 [a+(n-1)b [a+(n-1 a+(n-1)b](a-b) bb 当a≠(1-n)b且a≠b时,A≠0,此时方程组仪有零解 I-nb b b 当a=(1-m)b时,A= (1-n)b b11 b (1-m)b」×h1 1-n 11 H 0 1-n1 00 00000 00000 00000 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印/复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303asεu.edu.cn—一张小向10 11 1 1 0 ,由此可得Ax=0的一个基础解系 00 00 00000 00000 以及通解 x=k(1,1,…,1) 其中k为任意实数 bb 「11 ×(-1)「11 当a=b时,-bb…b× 00 ,由此可得Ax=0的一个基础 bb…b 00 解系 51=(-1,1,0,…,0)},52=(-1,0,1,,0),…,5-1=(-1,0.0,…,1), 以及通解 x=k1(-1,1,0,,)0)+k2(-1,0.1,…,0)°+…,+kn1(-1,0,0,…,1), 其中k1,k2,…,kn1为任意实数 102数三设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=0.已知A的秩4)=2 (1)求A的全部特征值 (2)当k为何值时,矩阵A-kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵. 100 解:(1)A为三阶实对称矩阵→存在正交矩阵Q使得Q4Q1020,其中A,,为A的特征值 00 A的秩r(4)=2→A1,A2,A3中有内个非零,一个为零.个妨设23=0 A2-2A=O→A的特征值满足x2+2=0 (事实上,设≠0且4=12,则(x2+2)2=(42+2A)2=O5=0,因而x2-22=0) 于是得A1=A2=-2 2+k00 (2)由()知Q(4+AE)Q=4kEQ=4Q+E=0-2+k0.因此A+kE为正定 0 0 K 矩阵分k>2 112数四设四元齐次线性方程组(1)为 2x1+3x2-x3=0 x+2x2+x3-x4=0 且已知另一四元齐次线性方程组(I)的一个基础解系为 a1=(2,-1,a+2,1),a2=(-1,2,4,a+8) (1)求方程组()的一个基础解系. (2)当a为何值时,方程组①)与(I)有非零公共解?在有非零公共解吋,求出全部非零公共解 23-10 10-53 解:(1) 23 0 320 32013-2 由此可得方程组()的一个基础解系: 3.2,0,1 (2)方程组()与(I)有非零公共解存在不全为零的数k1,k2使得k1a+k2a2是方程组()解 台存在不全为零的数k,0使得(a+1)k1=0 10 1(a+1)k-(a+)k=0°+1-a =0(1+a)2=0 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm

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