习题 8-71

方向导数都存在。在本题中，我们讨论了几个关于方向导数和梯度的概念，并通过具体的习题解析来加深理解。 方向导数是衡量多元函数在某一特定方向上的变化率，它与偏导数密切相关。题目中提到了函数 \( z = \cos(x+y) \) 在点 \( M(0,0) \) 沿方向 \( l(3,4) \) 的方向导数。计算时，我们需要找到与 \( l \) 同向的单位向量 \( \vec{e_l} \)，这里 \( \vec{e_l} = \frac{(3,4)}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{(3,4)}{5} \)。接着，利用偏导数 \( \frac{\partial z}{\partial x} \) 和 \( \frac{\partial z}{\partial y} \)，我们可以计算方向导数 \( \vec{e_l} \cdot (\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}) \)。 第二部分涉及函数 \( u(x,y,z) = xyz \) 在点 \( M(1,1,1) \) 沿方向 \( l(1,1,1) \) 的方向导数。同样，我们先找到单位向量 \( \vec{e_l} \)，然后利用偏导数 \( \frac{\partial u}{\partial x} \)，\( \frac{\partial u}{\partial y} \)，和 \( \frac{\partial u}{\partial z} \) 进行计算。 第三部分中，我们求函数 \( z = \ln(x+y) \) 在抛物线 \( y = 2 - \frac{x^2}{4} \) 上点 \( (1,2) \) 沿着切线方向的方向导数。首先找到切线的斜率，然后确定单位向量 \( \vec{e_l} \)，最后计算方向导数。 第四部分则是一个综合应用，设函数 \( f(x,y) \) 在点 \( A(1,3) \) 沿不同方向的方向导数已知，要求在 \( AD \) 方向上的方向导数。通过计算沿 \( AB \) 和 \( AC \) 方向的方向导数，可以找到 \( AD \) 的单位向量，进而得到所求。 问题4展示了即使函数在某点连续且偏导数存在，沿某些特定方向的方向导数仍可能不存在。这里以函数 \( z = x^3y^3 \) 为例，证明了原点 (0,0) 沿任何非零向量 \( l(a,b) \) 的方向导数不存在。 这些习题展示了方向导数的计算方法，以及它们与偏导数、连续性和函数特性之间的关系。在实际应用中，理解并掌握这些概念对于分析多元函数的行为至关重要。