概率课件2_21

在概率论和统计学中，离散型随机变量是一个重要的概念。它指的是一个随机变量，其可能取的值是有限的或者是可数无限多个。在电子科技大学数学科学学院杜鸿飞教授的课件中，第二章第二节主要讨论了离散型随机变量及其分布。 离散型随机变量X如果只取有限个或者可列无穷个数值，如x1, x2, ..., xi等，那么我们说X是一个离散型随机变量。每个可能的值xi对应的概率被记为pi，即P{X = xi}。这里有几个关键性质： 1. 每个pi必须是非负的，即pi ≥ 0。 2. 所有这些概率之和必须等于1，即 ∑ pi = 1。这是概率的基本性质，确保了随机变量的全部可能结果的概率总和为1。 分布律是用来描述离散型随机变量概率分布的表格形式。例如，假设随机变量X表示抛硬币两次出现正面的次数，我们可以列出所有可能的结果及其对应的概率。在这种情况下，X可以取0（两次都是反面），1（一次正面一次反面），或者2（两次都是正面），相应的概率分别为(1-p)^2, 2p(1-p), p^2，其中p是单次抛硬币正面出现的概率。 分布函数F(x)是离散型随机变量X的另一个重要工具，它定义为P(X ≤ x)，即X取小于或等于x的所有值的概率。对于离散型随机变量，分布函数可以写成F(x) = ∑{pi : xi ≤ x}。例如，对于上述硬币投掷的例子，分布函数会显示出在抛掷两次硬币后，获得不同正面次数的概率。 接下来，课件提到了贝努里试验，这是一个具有两个可能结果（成功与失败）的独立试验，比如抛硬币、检查产品质量或射击。贝努里试验的随机变量X通常设定为：若事件A发生，X=1；若事件A不发生，X=0。这时，X服从(0-1)分布，其概率分布为P{X=0} = 1-p和P{X=1} = p。 如果一个贝努里试验重复n次，得到的是n重贝努里试验。在这种情况下，我们可能会对某些特定问题感兴趣，比如事件A首次发生的试验次数（几何分布）、事件A发生k次时的试验次数或n次试验中事件A发生的次数（二项分布）。几何分布描述的是在一系列独立的伯努利试验中，首次成功所需要的试验次数的概率分布。其概率质量函数为P{X=k} = pq^(k-1)，其中p是单次试验成功的概率，q=1-p。 负二项分布，或称帕斯卡分布，是几何分布的一个推广，它描述了在一系列独立的伯努利试验中，需要进行多少次试验才能得到r次成功，而在此之前已经发生了r-1次失败的概率。其概率质量函数为P{Y = t} = C(t-1, r-1) * p^r * q^(t-r)，其中C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中选取k个的方法数。 离散型随机变量及其分布，尤其是几何分布和负二项分布，是概率论中的基础概念，广泛应用于统计分析、工程、经济学等多个领域。理解这些概念对于处理随机现象的建模和预测至关重要。