图论讲义141
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2022-08-04
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第十章 平面图
§10.1 平图和平面图
°平面图：如果一个图能画在平面上使得它的边仅在端点相交，则称
这个图为可嵌入平面的，或称为平面图。平面图 G 的这样一种画法称
为 G 的一个平面嵌入。有时把平面图的平面嵌入称为平图。
°例子：(见图 10.1)
°Jordan 曲线：是指一条连续的自身不相交的，起点和终点相重合的
曲线。
设 J 是平面上的一条 Jordan 曲线，平面的剩下部分被分成两个不相
交的开集，称为 J 的内部和外部，分别记为 int J 和 ext J，并且用 Int J
和 Ext J 表示它们的闭包。显然，Int J ∩ Ext J = J。
Jordan 曲线定理：连接 int J 的点和 ext J 的点的任何连线，必在某点
和 J 相交。 (见图 10.2)
定理 10.1：K
和K
,
是非平面图。
证：利用 Jordan 曲线定理可证。 ∎
°球极平面射影：(见图 10.3)
定理 10.2：图 G 可嵌入平面当且仅当它可嵌入球面。
证：假设 G 有一个球面嵌入G
。在球面上选择一个不在G
中的点 z。则
在从 z 出发的球极平面射影下，G
的象就是 G 的一个平面嵌入。其逆
z
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