吉林大学 2015-2016 学年第一学期“解析几何”期末考试试题
参考解析
1、已知非零向量 a,b,c,满足 a 与 b 不垂直,b 与 c 垂直,求满足 x·a=h,x×b=c 的向量 x.
解:由条件,(x×b)×a=c×a,而(x×b)×a=(x·a)b-(b·a)x,故 c×a=(x·a)b-(b·a)x.
即为 c×a=hb -(b·a)x,从而得:x=
.
2、在直角坐标系中,求过点
,正交于直线
的直线方程.
解:(解法一)先求过点
与直线
的平面方程.
设该平面为
,代入
,可得一组
.
故所求过点
与直线
的平面方程为:
而过点与直线垂直的平面方程为:
故所求直线方程为:
.
(解法二)设所求直线与直线
交于点
.
则有
0)2,1,1()22,2,1( ttt
,得
,故交点坐标
.
又方向向量为
,故所求直线方程为:
.
3、求两条异面直线
的公垂线的方程.
解:设
)2,1)(,,(),,,( icbauzyxM
iiiiiiii
,则由混合积的几何性质与向量外积的性质可知所求
的共垂线方程为:
)2,1(0
212121212121
i
abbacaacbccb
cba
zzyyxx
iii
iii
.
4、若二次曲面
)0(1)()()(
222
cbazkcykbxka
是一个直纹面,求参数 k 的取
值范围.
解:若其为单叶双曲面,则 b>k>c;若其为柱面(包括双曲柱面与椭圆柱面的情况),则 k=a,b,c.
综上参数 k 的取值范围为
.
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