17061833 於文卓 算法分析与设计实验一1

《算法分析与设计实验一：递归与分治》 在计算机科学中，递归与分治是两种重要的算法思想，它们在解决问题时展现出强大的威力。本次实验的目的在于让学习者深入理解递归算法的工作原理，能够熟练编写递归程序，并掌握分治算法的设计方法。 递归算法是一种基于函数自我调用的解决问题的方法。在递归过程中，问题被分解为更小的同类子问题，直到子问题的规模足够小，可以直接求解。递归的核心在于基线条件（base case），即最小规模问题的直接解决方案，以及递归规则，即将大问题转化为小问题的规则。在实验中，通过编写递归程序，学生可以直观地感受递归执行的过程。 分治算法是另一种高效的解决问题策略，它将一个复杂问题分解为若干个规模较小但结构相似的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。分治法通常包括三个步骤：分解、解决和合并。在实验中，以n段合并排序为例，首先将数组划分为若干个大小为O(√n)的子数组，对每个子数组递归进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个完整的有序数组。 n段合并排序算法的具体实现包括以下关键步骤： 1. **小规模问题的处理**：当数组长度为1或2时，直接返回排序好的数组，这是递归的基线条件。 2. **问题分解**：如果数组长度大于3，将其划分为根号n个子数组，这里可能需要考虑是否有余数，以确保所有子数组大小尽可能均匀。 3. **子问题解决**：对每个子数组递归调用MergeSort函数进行排序。 4. **子数组合并**：使用Merge函数将排序后的子数组合并成一个整体有序数组。Merge函数通过比较两个子数组中的元素，依次选取较小的元素加入结果列表，直至其中一个子数组为空，再将另一个子数组剩余部分添加到结果列表中。 5. **完整代码**：在Python中，实验代码使用全局变量存储中间结果，通过递归调用MergeSort和Merge函数完成整个排序过程。 通过这个实验，学生不仅能熟练掌握递归和分治算法的基本原理，还能锻炼编程能力，学会如何将理论知识应用于实际问题的解决。此外，实验结果的分析和优化也是提升算法性能的重要环节，这有助于培养学生的分析和调试技能。在后续的学习中，可以进一步探讨递归和分治在其他领域的应用，如树的遍历、快速排序、大整数乘法等，以深化对这两种算法的理解。