【免费】第27讲Riemann映射定理(2020-5-26)1资源-CSDN文库

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222 第二章复积分

第 27 讲 Riemann 映射定理

回忆: Riemann 映射定理：假设 D 6= C 为平面上的单连

通区域, 任取 a ∈ D, 存在唯一的双全纯映射 f : D → D, 满足

f(a) = 0, f

′

(a) > 0. (称

1

f

′

(a)

为 D 在 a 处的映射半径, 记为

R

D

(a)).

1. 记 F 为所有全纯函数 g : D → D 的全体, a ∈ D. 令

v = sup

g∈F

|g

′

(a)|.

(1). 求 v 的值.

(2). 满足 |f

′

(a)| = v 的 f ∈ F 具有什么样的形式？

(3). 是否存在 f ∈ Aut(D) 满足 |f

′

(a)| < v?

2. 假设 D 6= C 为平面上的单连通区域, a ∈ D. 假设

f : D → D 全纯, 满足 f(a) = a. 证明 |f

′

(a)| ≤ 1. 等号成立

的充要条件是什么?

3. 假设 Ω ⊂ C 是异于平面的单连通域. D 是平面区域,

证明函数族 F = {f : D → Ω 全纯} 是正规族.

4. 假设 D 6= C 为平面上的单连通区域, 关于实轴对称,

a ∈ D ∩ R. 假设 f : D → D 双全纯, 满足 f (a) ∈ R, f

′

(a) > 0.

证明 f(D ∩ R) = (−1, 1).

5. 假设 D 6= C 为平面上的有界单连通区域, f : D → D

双全纯, 满足 f(a) = 0, f

′

(a) > 0, 证明

d(a, ∂D) ≤ R

D

(a) ≤ max

z∈∂D

|z − a|.

6. 假设 D 6= C 为平面上的单连通区域,a ∈ D. 假设

F : D → C 全纯, F (a) = 0, F

′

(a) = 1. 证明

Z

D

|F

′

(z)|

2

dxdy ≥ πR

2

D

(a).

等号成立当且仅当 F 是从 D 到 D(0, R

D

(a)) 的双全纯映射.

附加题 (不做要求)

请将解答发至 wxg688@163.com. 无截止日期.

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兰若芊薇

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