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(α1 + α2)2(α1 + α2 + 1).(α1 + α2)(α1 + α2 + 1) − ((α1 + α2)2(α1 + α2 + 1).
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8.3 Beta ©Ù!Γ ©Ù!Dirichlet ©Ù 143
e¡0n«©Ù:
½Â 8.6 (Beta ©©©ÙÙÙ) ‰½ α
1
> 0 Ú α
2
> 0, e‘ÅCþ X VÇ—Ý•
f(x) =
(
x
α
1
−1
(1−x)
α
2
−1
B(α
1
,α
2
)
x ∈ (0, 1)
0 Ù§.
¡ X Ñlëê• α
1
Ú α
2
Beta ©Ù§P X ∼ B(α
1
, α
2
).
½n 8.3 e‘ÅCþ X ∼ B(α
1
, α
2
), Kk
E[X] =
α
1
α
1
+ α
2
Ú Var(X) =
α
1
α
2
(α
1
+ α
2
)
2
(α
1
+ α
2
+ 1)
.
y² ŠâÏ"½Âk
E[X] =
1
B(α
1
, α
2
)
Z
1
0
x · x
α
1
−1
(1 − x)
α
2
−1
dx =
B(α
1
+ 1, α
2
)
B(α
1
, α
2
)
=
α
1
α
1
+ α
2
,
E[X
2
] =
1
B(α
1
, α
2
)
Z
1
0
x
α
1
+1
(1 − x)
α
2
−1
dx =
B(α
1
+ 2, α
2
)
B(α
1
, α
2
)
=
α
1
+ 1
α
1
+ α
2
+ 1
α
1
α
1
+ α
2
,
ddŒ
Var(X) = E[X
2
] − E[X]
2
=
α
1
(1 + α
1
)
(α
1
+ α
2
)(α
1
+ α
2
+ 1)
− (
α
1
α
1
+ α
2
)
2
=
α
1
α
2
(α
1
+ α
2
)
2
(α
1
+ α
2
+ 1)
.
~ 8.2 ÕáÓ©Ù‘ÅCþ X
1
, X
2
, ··· , X
n
Ñlþ!©Ù U(0, 1), P X
(k)
•Ù^SÚO
þ, K
X
(k)
∼ B(k, n −k + 1).
y² e‘ÅCþ X
i
∼ U (0, 1) (i ∈ [n]), K x ∈ (0, 1) žÙ©Ù¼ê F (x) = x. ddŒ
1 k ‡ÚOþ X
(k)
VǗݼê
f(x) =
n!
(k − 1)!(n −k)!
(F (x))
k−1
(1 − F (x))
n−k
=
n!
(k − 1)!(n −k)!
x
k−1
(1 − x)
n−k
=
1
B(k, n − k + 1)
x
k−1
(1 − x)
n−k
.
e¡½Â Γ ©Ù:
½Â 8.7 XJ‘ÅCþ X VÇ—Ý
f(x) =
λ
α
Γ(α)
x
α−1
e
−λx
x > 0
0 x 6 0
东方捕
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