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02复变函数微积分1
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第二章 复变函数微积分§2.1 复变函数的极限与连续性§2.2 复变函数的解析性§2.3 复变函数积分的定义和性质§2.4 柯西定理和柯西积分公式第一篇 复变函
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数学物理方程
第二章 复变函数微积分
❖ §2.1 复变函数的极限与连续性
❖ §2.2 复变函数的解析性
❖ §2.3 复变函数积分的定义和性质
❖ §2.4 柯西定理和柯西积分公式
第一篇 复变函数论
数学物理方程
§2.1 复变函数的极限与连续性
❖ 复变函数的极限
若复变函数w =f(z)定义在z
0
的去心邻域中有定义。
并且对于任意给定的正实数
ε
,总能找到正实数
δ,
使得当0<|z-z
0
|<
δ
时,就有| f(z)- w
0
|<
ε
,那么常复
数w
0
就称为f(z)当z趋向于z
0
时的极限,记为
0
)(lim
0
w=
→
zf
zz
注意:复变函数极限存在的条件比实变函数极限
存在的条件苛刻得多。
数学物理方程
例2.1
z
z
zf =)(
设
试证:当z→ 0时,f(z)的极限不存在。
证:设
(1)当z沿x轴从右边趋近原点,则θ=0,ρ→0,这时
i
ez =
i
ez
−
=
i
e
z
z
zf
2
)( ==
z→ 0时,f(z)的极限不存在
1)(
2
→=
i
ezf
(2)当z沿y轴从上边趋近原点,则θ=π/2,ρ→0,这时
1)(
2
−→=
i
ezf
数学物理方程
❖ 复变函数的连续性
若复变函数w=f(z)在点z
0
的某一邻域中有定义,
并且 ,那么称f(z)在点z
0
处连续。
)()(lim
0
0
zfzf
zz
=
→
性质
f(z)=u (x,y)+iv(x,y),在z
0
=x
0
+iy
0
处连续,那么
处连续均在 ),(
),(
),(
00
yx
yxv
yxu
数学物理方程
§2.2 复变函数的解析性
❖ 导数的定义
设复变函数w=f(z)在区域D上有定义点z
0
属于区域D ,若极限
0
0
)()(
lim
0
zz
zfzf
zz
−
−
→
存在,则称函数f(z)在z
0
点处可导或可微,该极限值称为函数
f(z)在z
0
点处的导数或微商,记为
dz
zdf
dz
zdf
zf
zz
)(
)(
),(
0
0
0
或
=
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