机器学习算法推导 第七章 核函数1

【机器学习算法推导 第七章 核函数1】 在机器学习领域，特别是支持向量机（SVM）中，核函数（Kernel Function）扮演着至关重要的角色。它是一种技术，能够将原本线性不可分的数据通过非线性映射转化为高维空间中的线性可分问题。这一思想被称为“核技巧”（Kernel Trick），它从计算的角度极大地简化了模型的构建和优化过程。 在SVM例子中，转化函数通常被设定为特定的形式，但并不局限于某一固定形式。当数据集的维度很高时，直接进行内积运算会带来极大的计算负担。为了解决这个问题，核函数应运而生。核函数是直接计算高维空间中样本内积的函数，相比先进行非线性映射再计算内积的方法，其计算复杂度更低。例如，如果有一个函数能够直接转换为内积的形式，那么我们就无需再经历繁琐的中间步骤，从而简化运算。 核函数有两个关键性质：对称性和正定性。对称性意味着对于所有样本x和z，核函数满足k(x, z) = k(z, x)，这是内积的基本性质。正定性则确保了在高维空间中，由核函数构造的Gram矩阵是半正定的，这意味着该矩阵的所有特征值都是非负的。这在数学上保证了使用核函数进行的映射可以保持数据点之间的距离关系，使得在高维空间中的分类问题变得容易解决。 常见的核函数有线性核、多项式核、高斯核（也称为径向基函数RBF）等。例如，高斯核通常定义为k(x, z) = exp(-γ||x-z||^2)，其中γ是调整函数宽度的参数。这个函数可以将任意两点之间的距离转换为高维空间中的内积，从而实现非线性映射。 核函数的应用不仅仅局限于SVM，还包括其他许多机器学习算法，如核PCA（主成分分析）、核RBF网络等。通过使用核函数，这些方法能够在不显式地进行高维变换的情况下，有效地处理非线性问题，提高了模型的预测能力和泛化性能。 核函数是机器学习中的一个强大工具，它通过非线性映射使原本线性不可分的问题在高维空间中变得可解，从而提高了模型的复杂度和表达能力，而无需实际计算高维空间的坐标。理解并合理选择核函数对于构建高效、准确的机器学习模型至关重要。