两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比1
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2022-08-08
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两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
沈阳市教育研究院 王恩宾
两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基
础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得
到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两
角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问
题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：
方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法
设角
α
的终边与单位圆的交点为
P
1
，∠POP
1
＝
β
，则∠POx＝
α
－
β
．
过点
P
作
PM
⊥x 轴，垂足为
M
，那么
OM
即为
α
－
β
角的余弦线，这里要用表示
α
，
β
的
正弦、余弦的线段来表示
OM
．
过点
P
作
PA
⊥OP
1
，垂足为
A
，过点
A
作
AB
⊥x 轴，垂足为
B
，再过点
P
作
PC
⊥AB，垂足为
C
，那么 cos
β
＝
OA
，sin
β
＝
AP
，并且∠PAC＝∠P
1
Ox
＝
α
，于是
OM
＝
OB
＋
BM
＝
OB
＋
CP
＝
OA
cos
α
＋
AP
sin
α
＝cos
β
cos
α
＋sin
β
sin
α
．
综上所述， .
说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.
但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问
题是公式是在 均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑 的角度从锐角向任
意角的推广问题.
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
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