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(5) T(2(1,0,0))=T(2,0,0)=(4,2,0)≠2T(1,0,0)=2(1,1,0),故不是线性映射. 由 T(1,0,0)=T(-1,2,0
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12 月 12 日作业分析
作业:习题六 2,4,5,7,8,10,12,14,15,16,17
习题六 2 有些同学证明线性空间只证明加法和数乘的封闭性,应该进一步验证加法和数乘满足线性空间的加法和数
乘的性质。
2 证明{sin t, … ,sin nt}为一组基时,很多同学没有证明{sin t, … ,sin nt}线性无关性及求 c
k
的公式,可如下:
设
12
sin sin2 sin
n
c t c t c nt
,两边积分
22
12
00
1
sin ( sin sin2 sin ) sin sin 0, 1,2, , .
n
n i m
i
mt c t c t c nt dt c mt itdt c m n
即
0, 1,2, , .
m
c m n
,故
2
{sin , sin2 , ,sin }t c t nt
线性无关。
同时也可知:
2
0
1
( )sin , 1,2,..., .
k
c x t ktdt k n
4 大家都是由
1 2 3
2 3 4
1 2 3
2 3 4
+2 =
+2 =
+2 =
+2 =
,
,
,
,
解出
1 1 2 3 4
2 1 2 4
3 1 2
4 2 3
=4 +8 + -2
=-2 -4 +
= +2
= +2
,
,
,
,
,于是 Φ 到 Ψ 过渡矩阵
4 -2 1 0
8 -4 2 1
1 0 0 2
-2 1 0 0
P
,
当原来的式子较复杂时,可处理如下:
由
1 2 3
2 3 4
1 2 3
2 3 4
+2 =
+2 =
+2 =
+2 =
,
,
,
,
得
1 2 3
2 3 4
3 1 2
4 2 3
+2 =
+2 =
= +2
= +2
,
,
,
,
,此即
1 2 2 3 3 4 3 4 1 2 2 3
( +2 , +2 , , ) ( , , +2 , +2 )
,
故
1 2 3 4 1 2 3 4
1 0 0 0 0 0 1 0
2 1 0 0 0 0 2 1
( , , , ) ( , , , )
0 2 1 0 1 0 0 2
0 0 0 1 0 1 0 0
,
于是
1
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 0 0 0 0 0 1 0 4 2 1 0
2 1 0 0 0 0 2 1 8 4 2 1
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 0 2
0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0
7 有些同学证明有些问题,可如下:
证:设 dimV
1
=dimV
2
=n,并设 α
1
,α
2
, … ,α
n
为 V
1
的一组基,β
1
, β
2
, … , β
n
为 V
2
的一组基.
因为 V
1
⊂V
2
,故 α
1
,α
2
, … ,α
n
可由 β
1
, β
2
, … , β
n
表示,即 (α
1
,α
2
, … ,α
n
)=( β
1
, β
2
, … , β
n
)P .
若 P 不可逆,则存在向量 x≠0,使得 Px=0,
于是 (α
1
,α
2
, … ,α
n
)x=( β
1
, β
2
, … , β
n
)Px=( β
1
, β
2
, … , β
n
)0=0,
即 α
1
,α
2
, … ,α
n
线性相关,与 V
1
的基矛盾,故 P 可逆.
于是( β
1
, β
2
, … , β
n
)= (α
1
,α
2
, … ,α
n
)P
-1
,即 α
1
,α
2
, … ,α
n
可表示 β
1
, β
2
, … , β
n
,为 V
2
的一组基,故 V
1
⊃V
2
.
再由 V
1
⊂V
2
,可得 V
1
=V
2
.
8 有些同学未证直和。可如下证明:
证:设 n 阶方阵空间为 L,则任取 A∈L,令
11
( , ( -
22
TT
B A A C A A ) )
,则有 A=B+C,
且有
11
( ) , ( - )
22
T T T T
B A A B C A A C
. 故 B∈L
1
,C∈L
2
,于是 L=L
1
+L
2
.
下面证 L=L
1
L
2
. 任取 A∈L
1
∩L
2
,则有性质 A
T
=A 和 A
T
=-A,
于是 A=-A=O,即 L
1
∩L
2
={ O },于是可知 L=L
1
L
2
.
10 有些同学(2)没有分 M 可逆与否,(4)、(5)没有指明是否单射,是否满射。可如下求解:
解:(2) T 显然是映射,且 T(A+B)=M(A+B)=MA+MB=T(A)+T(B),T(kA)=M(kA)=kMA=kT(A),故 T 为线性映射.
当 M 可逆时,T(A)=T(B)=C,即 MA=MB=C,故左乘 M 的逆可得 A=B=M
-1
C,故是单射也是满射.
当 M 不可逆时,存在非零列向量 x,使得 Mx=0,故设 A=(x,x,…,x),有 MA=O=MO,故不是单射.
再取列向量 y 使得 r(M,y)>r(M),C=(y,y,…,y),则不存在 A 使得 T(A)=MA=C,故也不是满射.
(4) 设 k=1+i,z=1-i,则 T(kz)=T(2)=2,kT(z)=(1+i)(1+i)=2i≠T(kz),故不是线性映射.
由于 T(z
1
)=T(z
2
)=z
3
,故 z
1
=( z
3
的共轭)=z
2
,故 T 是单射也是满射.
(5) T(2(1,0,0))=T(2,0,0)=(4,2,0)≠2T(1,0,0)=2(1,1,0),故不是线性映射. 由 T(1,0,0)=T(-1,2,0)知 T 不是单射.
由 T(x,y,z)=(x
2
,x+y,z)≠(-1,0,0)知 T 不是满射.
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