现代概率论基础 汪嘉冈

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该文档属于概率论教材,用到的测度论方面的知识比较多
内容提要 本书以测度论为工具,系统地论述了概: 率论的基本概念(如事件、随机变量、概 率、期望等),同时还介绍了独立随机变量 序列、条件期望和鞅序列等方面的主要结 果,从而为读者深入学习现代概率论、随 机过程和数理统计提供了必要的基础.本 书可作为大学生和研究生的教材或教学参 考书,也可供相关专业的学生、教师、研: 究工作者阅读和参考 前言 在初等的概率论课程中,都会直观地介绍概率论中的一些基本概念,如事件、概 率、随机变量、期望等,而事件、概率又是其中最基本的,概率可以看作以事件为自 变量的函数.从概率论发展的需要来看,明确地规定事件和概率是必需的为了规定 什么是事件,一方面要考虑到对事件应允许进行必要的运算,以满足分析随机现象 的实际需要,囡而事件类不能太小,至少对某些运算应该是封闭的:另一方面为了能 对每个事件给出概率,并保证对概率有一定的要求,例如可加性等,所以事件类就不 能太大,否则无法给出一个“兼顾各方面要求”的概率.这就是运用公理化方法来描 述概率模型时必须考虑的内容 事件从其运算的特点来看,它与集合的运算是十分相近的.假若把试验可能结 果的全体记为2,事件A相当于“g2中某些在试验中出现”这事件,即事 件A={属于9的子集A的任一在试验中出现},这样事件A与9的子集A 就是一回事了.在这种对应之下,事件全体就是g2的某些子集的集合,概率就应该 是定义在?的某些子集上的一个以集合为自变量的函数.规定事件和概率所必须 兼顾到的各种要求就变为对集合类与集合函数应该满足的要求.本书的前两章先介 绍测度论的一般结果,并以此来建立事件、随机变量、概率、期望等各种概率论的概 念.自从 Kolmogorov引进概率模型的公理结构以来,这种做法在现代概率论、随机 过程甚至数理统计理论中几乎是通用的做法第三、第四章主要介绍独立性、独立随 机变量序列、条件期望、鞅等概念.这里虽然离不开测度论的方法,但在讨论这些问 题时用到的测度论概念、方法已和许多概率论概念结合起来,因而成为概率论本身 特有的概念和方法了,例如停时的概念就是一个例子. 相对于目前开设的基础课—概率论的内容来说,这里的内容是进了一步但 对于概率论随机过程和数理统计的现代理论来说这些内容仍然是最基本的.从这 个意义上来说,称它为“概率论基础”更为恰当些,此外,本书还涉及不少近年来普 遍运用的观点和概念,因此这里又冠上“现代”这个形容词 编者自1978年以来,曾多次为高年级大学生、研究生和进修教师开设了这一 2现代概率论基础 课程,本书就是由这一课程的讲义修改而成的,其中很多内容选自参考书目[1,2 又由于参考书目3,41是随机过程和现代鞅论的基本著作,因此在编写和修改中也 力求使本书的内容与之衔接.编者在开设这一课程时,假定听讲者已具备初等概率 论知识(相当于参考书目5]的内容)和初步的实分析知识(例如参考书目同6的部 分内容).通过本课程的学习,一方面可以学会用测度论的观点和方法来分析概率论 的一些重要问题;另一方面掌握了独立性、条件期望、鞅等方面的一些基本结果 后,就为进一步学习概率统计和随机过程方面其他课程打下基础.讲授这一课程一 般可用54学时,这就相当于每周3学时讲一学期的课程 本书共分4章,每章又分若干节.同一节内就按序号直接引用,同章不同节间引 用时在序号前加节号,不同章之间引用加上章、节号例如定义3和(4.2)分别表示 本节的定义3和(42)式,命题35和定理253分别表示本章83的命题5和第二 章$5的定理3.本书用到的符号,若未加说明,可参见书末符号一览表 编者得以完成本书首先要感谢复日大学数学系、统计运筹系和数学研究所,由 于它们的安排使编者有机会在多次的教学实践中完成本书的编写和修改任务.也要 感谢概率统计教研组的同志们,是他们鼓励和支持我完成了这一工作.其次也应感 谢各次参加听讲的学生,由于他们仔细阅读原来的讲义而帮助我纠正了一些不妥之 处。还特别要感谢何声武和徐家鹄同志,在完稿后他们又仔细地校阅了手稿并协助 作了修改. 最后,由于编者的水平所限,本书可能存在不少错误和缺点,编者真诚地欢迎读 者的批评和指正 编者 1986年7月 再版前言 本书第一版出版后,曾被许多院校先后采用作为教材和教学参考书,并于1992 年荣获国家教育委员会(即现在的国家教育部)颁发的“第二届高校优秀教材奖”优 秀奖 由于概率与统计的应用不断扩大和深入,不仅理科类的概率统计课程要求讲述 严密的概率论基础内容,其他学科的课程,例如数理金融学等也迫切需要讲授这方 面的基本内容,所以结合测度论方法讲述概率论已成为许多方面的需要编写本书 原来的想法就是注重用测度论的观点和方法来分析概率论的一些重要问题,并讲清 独立性、条件期望、鞅的基本概念和结果.这一想法也符合了许多师生和实际工作者 的要求.自本书出版以后国内外相继出版的许多概率论基础方面的著作和教材也反 映了同样想法(例如参考书目[7~10]) 自201年开始,作者在复旦大学统计学系为硕士研究生讲授这一课程.在讲授 的过程中不断对课程的内容按需要和教学实际进行修改所以这次再版中所作的一 些增删是这几年教学实践过程的反映 此书这次再版,其内容在总的框架上与第一版基本相同,只是局部地作了些增 删,改写了一些证明,改正了一些错误和不妥之处,使之更符合教学实际,章节和公 式、定理等的编号采用了新的格式(分别按节统一编号)为了帮助掌握书的内容,对 习题作了补充.在讲授课程的同时对习题展开讨论也是这几年教学中一个行之有效 的做法,对习题的调整就反映了这方面的实践成果 本书第一版出版以后,曾得到许多兄弟院校的教师的指教和建议,这次再版的 些修改就来源于此.在此,编者真诚地向他们表示感谢;复旦大学管理学院统计学 系为编者提供机会讲授这一课程,推动编者进行这次修改,编者也真诚地表示感谢; 编者还感谢听课的研究生,是他们帮助发现了修改过程中的问题.最后,编者诚挚地 感谢复旦大学出版社范仁梅女士,是她的帮助使编者完成了本书的再版 教材虽经不断修改,但仍会有不少缺点和问题,欢迎读者的批评指正 编者 2005年3月 图书在版编目(C|P)数据 现代概率论基础/汪嘉冈编著.-2版.一上海:复旦大学 出版社,2005.8 研究生教学用书 IsBN7-309045556 Ⅰ.现…Ⅱ.汪…Ⅲ,概率论研究生-教材 Ⅳ.0211 中国版本图书馆CIP数据核字(2005)第051981号 现代概率论基础(第二版) 汪嘉冈编蓍 出版发行旦火学出版杜 上海市国椒路579号邮编200433 86-21465118853(发行部)862165109143(郎购) fupnet@fudanpress.comhttp://www.fudanpress.com 责任编辑范仁梅 总编辑高若海 出品人贺圣遂 印刷上海复文印刷厂 开本787×9601/16 印张13插页2 宇薮240千 版次2005年8月第二版第一次印刷 印数1-3100 书号ISBN730904556/0·343 定价20.00元 如有印装质量问题,请向复且大学出版杜发行部调换。 版权所有侵权必究 目录 第一章可测空间 §11集类与σ域 111集合及其运算 112集类与a域 +=当+##=++是a""=4,+++++.4普-.+ 12单调类定理… 38 §13可测空间与乘积可测空间 10 131可测空间 …·…,10 132乘积可测空间, mt增mt世tm鲁t日十+4·普 11 14可测映照与随机变量 16 141可测映照 普如音+导日·1+日 16 14.2可测函数—随机变量…… 14.3单调类定理 ……22 144多维随机变量… 24 小结………………………………25 习题 率 26 第二章测度与积分 …∴:31 21测度与测度空间 ·+鲁 31 211测度空间 翻秦南■■曹,曹_··鲁日中 31 21.2半域和域上的测度 32 213完备测度 ∴…………37 2现代概率论基础 22概率测度的延拓和生成… 38 2.21域上测度延拓定理 222分布函数与其生成的测度 46 23积分一期望 24随机变量及其收敛性 59 241随机变量的等价类………………………………………59 242一致可积与平均收敛… 66 243IP空间 画画画画翻翻潘潘画 翻‘ 68 825乘积可测空间上的测度… ,7 2.5.1两维乘积空间上的测度 73 252无限维乘积空间上的测度 小·结……………………85 习题 第三章独立随机变量序列………… 中■_ ………94 31独立性与零一律 nnrti.et+++++++++++ t 94 311独立性 94 31.2零一律 96 632独立项级数 99 833大数定律 ,……+……108 34停时与wald等式 …,,,,………………116 341停时与适应随机变量序列… 面日曹曹±+++無 116 342Wald等式 120 小。结 123 习题 m如曾 ∴……∴…44124 录3 第四章条件期望与鞅 131 §4.1广义测度… 和,·.口 ….131 411Hahn- Jordan分解 画日 +·44……·…131 4.12 Lebesgue分解 ·· 135 41.3 Radon- Nikodym定理 “““““·+··""·",··: ,…,,-139 §42条件期望,………… ■■■■■ ■ 143 42.1定义 143 4.22性质 +:146 +寻44日1+日"++日,++++"m+#4mmm4 2.3条件概率分布 翻11 ■国■■■ 151 424条件独立性 56 15 43鞅的定义与基本不等式…………………………………∷:158 4.3.1定义与基本性质……………………………158 432鞅变换与基本不等式………………………………160 4.3.3应用∴……·…………………………166 544鞅的收敛定理及应用 .·…168 44,1收敛定理∵…………………168 4.42负值参数鞅… 173 443一般停时定理 ∴.176 44.4应用∵…………………………………177 小结 ‘曹新和+日日■#日 185 习题 185 参考文献… 193 索引…………………………………………………………194

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