现代概率论基础汪嘉冈

《现代概率论基础》以测度论为工具，系统地论述了概率论的基本概念（如事件、随机变量、概率、期望等），同时还介绍了独立随机变量序列、条件期望和鞅序列等方面的主要结果，从而为读者深入学习现代概率论、随机过程和数理统计提供了必要的基础。《现代概率论基础》可作为大学生和研究生的教材或教学参考书，也可供相关专业的学生、教师、研究工作者阅读和参考。 《现代概率论基础》由汪嘉冈撰写，是一部系统性介绍概率论基本概念、方法和一些高级主题的教材，特别强调使用测度论作为工具。书中涉及的核心概念包括随机变量、概率、期望值等，同时对独立随机变量序列、条件期望以及鞅序列等主题也有所涉猎。概率论作为数学的一个分支，在现代科学技术中占有重要地位，广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学、金融学以及社会科学等众多领域。为了深入了解概率论，掌握其基础是必不可少的。 在概率论的学习中，首先要掌握的基本概念是“事件”和“随机变量”。事件是指在一定条件下可能发生或不发生的客观现象，是概率论中的基本研究对象。随机变量是将样本空间中的每一个可能的结果映射到实数线上的一种函数，是描述随机现象的一种数学模型。而概率则是衡量事件发生可能性大小的度量，是事件的一个函数。 期望（或数学期望）是对随机变量取值的平均预测，给出了在给定概率分布下，随机变量可能取得各种值的平均结果。它是概率论中的一个核心概念，用于描述随机变量的平均行为。 在概率论中，独立性是一个至关重要的概念。如果两个随机事件或随机变量事件的发生互不影响，则称这两个事件（或变量）是独立的。独立随机变量序列涉及到多个随机变量的独立性，这对于概率论及其它数学领域都有着非常重要的作用。 条件期望是指在某些已知信息的条件下，对随机变量的期望值进行计算，它是处理信息不完全情况下的一个有力工具。 鞅序列是概率论中用于描述随机过程的一种模型，它是一系列随机变量，其中每个变量的期望值等于或以某种方式受到先前变量值的约束。鞅序列在金融数学和数理统计等领域有着重要的应用。 此外，测度论是现代概率论的基石之一。测度论为概率论提供了一个严格的数学框架，使得许多传统的概率概念能够以更加严格的方式定义。例如，可测空间、可测函数、可测集等概念，在测度论的基础上得以清晰地定义和分析。 根据《现代概率论基础》的内容简介，书中第一章节的内容涉及可测空间、集合及其运算等基础概念，这是学习现代概率论的起点。集合是现代数学的基础，包括集合的定义、性质以及基本运算（如并集、交集、补集、差集、对称差等），这些基础概念是理解更高级概念的前提。 书中还提到了集类和域的概念。集类是由某些集合构成的集合，包含了大量集合的所有可能组合。域是具有特定性质的集类，通常指的是满足某些封闭性质的集类，比如关于集合的并集、交集以及补集运算封闭。在概率论中，了解集类和域的概念对于深入研究更复杂结构的集合系统是十分必要的。 此外，书中还提到了对于集合序列的一些处理，比如上下极限点集的定义。在概率论中，对于随机事件序列的极限行为进行分析是研究随机过程性质的重要方法。 在概率论的学习过程中，掌握这些基础概念和方法对于深入研究高级主题，例如马尔可夫链、布朗运动以及各种统计推断方法等，都具有重要的意义。通过《现代概率论基础》的学习，读者不仅能够系统地掌握概率论的基础知识，还能为进一步探索概率论在各个学科中的应用打下坚实的基础。