公式法(1)PPT课件.ppt
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**公式法:平方差公式及其应用** 平方差公式是代数中一种重要的因式分解方法,公式为 \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)。这个公式揭示了两个数的平方差等于这两个数的和与它们的差的乘积。在解决多项式的因式分解问题时,它是一个非常有用的工具。 在例子3中,展示了如何使用平方差公式来分解因式。例如,给定的多项式 \(4x^2 - 9\) 可以通过识别 \(4x^2 = (2x)^2\) 和 \(9 = 3^2\) 来转换为 \((2x)^2 - 3^2\),这直接对应于平方差公式的形式。因此,可以将其分解为 \((2x + 3)(2x - 3)\)。同样地,多项式 \((x + p)^2 - (x + q)^2\) 也可以通过展开并应用平方差公式分解为 \((2x + p + q)(p - q)\)。 对于更复杂的例子,如 \(x^4 - y^4\),我们首先观察到它可以转换为 \((x^2)^2 - (y^2)^2\),然后应用平方差公式两次,得到 \((x^2 + y^2)(x^2 - y^2)\),进一步分解为 \((x^2 + y^2)(x + y)(x - y)\)。另一个例子 \(a^3b - ab\),首先提取公因式 \(ab\),然后对余下的 \(a^2 - 1\) 使用差平方公式,得到 \(ab(a + 1)(a - 1)\)。 **练习与思维延伸** 1. 在练习1中,我们需要判断给出的多项式是否可以用平方差公式来分解。对于 (1) \(x^2 + y^2\),这不是平方差的形式,因为它没有减号;(2) \(x^2 - y^2\) 是平方差的形式;(3) \(-x^2 + y^2\) 通过改变符号可以转换为平方差形式;(4) \(-x^2 - y^2\) 既不是两个正数的平方之差,也不是两个负数的平方之差,所以不能直接用平方差公式分解。 2. 在练习2中,要求分解因式: - (1) \(a^2 - b^2\) 显然是平方差的形式,分解为 \((a + b)(a - b)\)。 - (2) \(9a^2 - 4b^2\) 同样是平方差,分解为 \((3a + 2b)(3a - 2b)\)。 - (3) \(x^2y - 4y\) 首先提取公因式 \(y\),得到 \(y(x^2 - 4)\),其中 \((x^2 - 4)\) 可以用平方差公式分解为 \((x + 2)(x - 2)\),最终结果为 \(y(x + 2)(x - 2)\)。 - (4) \(-a^4 + 16\) 是 \(16 - a^4\) 的形式,可以看作 \((4)^2 - (a^2)^2\),应用平方差公式分解为 \((4 + a^2)(4 - a^2)\),而 \(4 - a^2\) 又可以继续分解为 \((2 + a)(2 - a)\),所以最终结果是 \((-a^4 + 16) = (4 + a^2)(2 + a)(2 - a)\)。 **思维延伸** 1. 观察给定的数列 \(3^2 - 1^2 = 8 = 8 \times 1\), \(5^2 - 3^2 = 16 = 8 \times 2\), \(7^2 - 5^2 = 24 = 8 \times 3\),我们可以发现规律是连续奇数的平方差等于 \(8 \times (\text{较小奇数} - 1)\)。如果用 \(n\) 表示较小的奇数,则等式可以表示为 \( (n + 2)^2 - n^2 = 8(n - 1)\)。 2. 对于任意自然数 \(n\),表达式 \((n + 7)^2 - (n - 5)^2\) 可以展开为 \(n^2 + 14n + 49 - (n^2 - 10n + 25)\),简化后得到 \(24n + 24\),这显然能被24整除,因为 \(24\) 是 \(24n + 24\) 的公因数。 平方差公式不仅用于因式分解,还常用于解决各种数学问题,如求面积、解决几何问题、简化方程等。熟练掌握并灵活运用平方差公式,能够提高解题效率并拓展解决问题的思路。
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