### 工程数学—概率统计知识点解析
#### 一、概率统计基础知识介绍
在概率论与统计学中，样本空间是指一个随机实验的所有可能结果组成的集合。而随机事件则是样本空间的一个子集，即随机实验的某些特定结果的集合。
#### 二、习题解析
**1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A**
**(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面**
- **样本空间**：由两次抛硬币可能出现的所有结果组成，即 \(\Omega = \{(正, 正), (正, 反), (反, 正), (反, 反)\}\)。
- **事件A**：两次出现的面相同，可以表示为 \(A = \{(正, 正), (反, 反)\}\)。
**(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数**
- **样本空间**：由可能的一分钟内接到的呼叫次数构成的无限集合，即 \(\Omega = \{0, 1, 2, \ldots\}\)。
- **事件A**：一分钟内呼叫次数不超过3次，即 \(A = \{0, 1, 2, 3\}\)。
**(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命**
- **样本空间**：由灯泡寿命构成的无限集合，即 \(\Omega = [0, +\infty)\)。
- **事件A**：寿命在2000到2500小时之间，即 \(A = [2000, 2500]\)。
**2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A={取得球的号码是偶数}，B={取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件**
**(1) B∪A**：表示取得球的号码是偶数或奇数，即所有可能的结果，即 \(\Omega\)。
**(2) A∩B**：表示同时满足号码是偶数和奇数的情况，即不可能事件，即 \(\varnothing\)。
**(3) A∩C**：表示取得球的号码是偶数且小于5，即 {2, 4}。
**(4) A∪C**：表示取得球的号码是偶数或小于5，即 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}。
**(5) C-A**：表示取得球的号码小于5且不是偶数，即 {1, 3}。
**(6) C∪B**：表示取得球的号码是奇数或小于5，即 {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}。
**(7) C-A**：表示取得球的号码小于5且不是偶数，即 {1, 3}。
**3. 在区间[0,2]上任取一数，记A={x|1/2≤x<1}，B={x|1/4≤x≤3/4}，求下列事件的表达式**
**(1) B∪A**：表示x满足1/4≤x≤3/4 或 1/2≤x<1 的区间，即 {x|1/4≤x≤3/4}。
**(2) B∩A**：表示x同时满足1/2≤x<1 和 1/4≤x≤3/4 的区间，即 {x|1/2≤x≤3/4}。
**(3) B-A**：表示x满足1/4≤x≤3/4 但不满足1/2≤x<1 的区间，即 \(\varnothing\)。
**(4) (B-A)∪A**：表示x满足1/4≤x<1 的区间，即 {x|1/4≤x<1}。
**4. 用事件C、B、A的运算关系式表示下列事件**
**(1) A出现，C、B都不出现**：表示仅A出现，即 \(A \cap B' \cap C'\)。
**(2) B、A都出现，C不出现**：表示A和B同时出现，且C不出现，即 \(A \cap B \cap C'\)。
**(3) 所有三个事件都出现**：表示A、B、C同时出现，即 \(A \cap B \cap C\)。
**(4) 三个事件中至少有一个出现**：表示至少有一个事件出现，即 \(A \cup B \cup C\)。
**(5) 三个事件都不出现**：表示没有事件出现，即 \((A \cup B \cup C)'\)。
**(6) 不多于一个事件出现**：表示没有事件出现或仅有一个事件出现，即 \((A' \cap B' \cap C') \cup (A \cap B' \cap C') \cup (A' \cap B \cap C') \cup (A' \cap B' \cap C)\)。
**(7) 不多于两个事件出现**：表示没有事件出现、仅有一个事件出现或仅有两个事件出现，即 \((A \cup B \cup C)' \cup (A \cap B' \cap C') \cup (A' \cap B \cap C') \cup (A' \cap B' \cap C) \cup (A \cap B \cap C') \cup (A \cap B' \cap C) \cup (A' \cap B \cap C)\)。
**(8) 三个事件中至少有两个出现**：表示至少有两个事件出现，即 \(A \cap B \cup A \cap C \cup B \cap C\)。
**5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”**
**(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品**：表示第一次或第二次抽到废品，即 \(A_1 \cup A_2\)。
**(2) 只有第一次抽到废品**：表示第一次抽到废品且第二、第三次均未抽到废品，即 \(A_1 \cap A_2' \cap A_3'\)。
**(3) 三次都抽到废品**：表示三次均抽到废品，即 \(A_1 \cap A_2 \cap A_3\)。
**(4) 至少有一次抽到合格品**：表示至少有一次抽到了合格品，即 \((A_1 \cup A_2 \cup A_3)'\)。
**(5) 只有两次抽到废品**：表示只有两次抽到废品，即 \(A_1 \cap A_2 \cap A_3' \cup A_1 \cap A_2' \cap A_3 \cup A_1' \cap A_2 \cap A_3\)。
通过以上习题解析，我们可以看到如何利用基本的概率统计理论来解决实际问题。这些练习不仅帮助我们巩固了概率统计的基本概念，还加深了对随机事件及其运算的理解。
