在当今城市交通系统中，公交车作为主要的公共交通工具之一，其调度问题成为了城市交通管理的重要组成部分。数学建模是解决这一问题的有效工具。本文将详细探讨数学建模在公交车调度问题中的应用，包括两个多目标规划模型的建立和求解过程。这两个模型分别是双车场模型和单车场模型。
双车场模型考虑的是带有软时间窗的单线路单车型公交车调度问题。在这个模型中，车站A13和车站A0分别有车场A和车场B，可以作为始发站和终点站。上行和下行路线独立运行，模型的目标是使运客能力与运输需求（实际客运量）达到最优匹配。为了达到这个目标，模型采用了多目标规划方法，其中包括优化目标函数以实现供求的最优匹配，以及控制各时段发车次数尽可能少，从而减少所需车辆的总数。具体的优化目标函数包括两个部分，一个是使运客能力与需求匹配程度最大化，另一个是使各时段发车次数最小化。此外，模型还考虑了满载率和供求匹配比的限制条件，以确保运营过程符合实际要求。
为了具体执行双车场模型，研究者们设计了模块一和模块二。模块一主要用于确定发车时刻表，涉及具体的多目标规划模型建立以及约束条件的设定。模型的约束条件包括对各时段平均满载率的限制和供求匹配比的限制，这两项限制分别考虑了乘客和公交公司的利益，以及运营调度的要求。通过模拟和二次规划求解，研究者们可以得到满足条件下的最小发车次数。
模块二则关注于运营过程的模拟。这里采用了时间步长法来模拟实际的运营过程，以确定满足时刻表要求的最小车辆数，并统计各项运营指标以寻找最优调度方案。模拟子程序一涉及到确定最小车辆数目的方法，遵循“按流发车”和“先进先出”的原则。在此基础上，通过考虑车场中车辆数目随时间变化的状态量，研究者们能够得到在满足运营过程中所需最小车辆数目的总和。
在单车场模型方面，研究者们针对单车场方式，考虑到A0车站虽然有转运能力但没有存车能力的特殊情况，将单车场方式理解为环线行驶。该模型的主要目标是使乘客的平均不方便程度和公交公司的成本达到最小。单车场模型尽管在结构上更为简单，但它也具有自身的特点，并且作为双车场模型的补充，有其独特的价值。
通过建立这两个模型，研究人员不仅能够考虑不同的实际情况，还能够为公交车调度提出符合实际要求的调度方案。这些方案包括静态调度和动态调度方案，都能够解决公交车调度过程中遇到的多目标和多变量的动态问题。
文章最后指出，通过采用时间步长法模拟实际运营过程，并结合优化算法，研究人员可以得到切实可行的发车时刻表，进而接近最优解。这表明数学建模在实际问题中的应用具有巨大潜力，特别是对于城市交通管理来说，能够有效地提高公共交通系统的运行效率和用户满意度。
