基于小波变换的图像压缩编码
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2014-04-16
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第二章 基于小波变换的图像压缩编码
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第二章 基于小波变换的图像压缩编码
小波分析作为一种时频局部化分析方法，其基本思想是寻求一个满足一定条
件的基本小波函数
()t
ψ
，通过对基本小波函数的伸缩和平移构成小波函数族
{
}
,
()
ab
t
ψ
，然后利用这个函数族来逼近或表示所要研究的信号，并作出相应的分
析和处理
[36]
。
2.1 一维小波变换
2.1.1 连续小波变换
设 ()t
ψ
为一平方可积函数，即
2
() ( )tLR
ψ
∈ ，若其傅里叶变换
ˆ
()
ψ
ω
满足容许
性条件：
2
ˆ
()
Cd
ψ
ψω
ω
ω
+∞
−∞
=<∞
∫
(2-1)
则称
()t
ψ
为基本小波或母小波(mother wavelet)函数。
对母小波函数进行伸缩和平移，设其伸缩因子（又称尺度因子）为 a ，平移
因子为
b
，便可得到如下小波函数族：
,,
1
()| ()
ab ab
tb
tt
a
a
ψψ ψ
−
⎧⎫
⎛⎞
=
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭
(2-2)
这里，
0,ab>∈ 。
,
()
ab
t
ψ
称为小波函数，简称小波。变量
a
反映函数的尺度（或
宽度），变量 b 指明函数沿 t 轴的平移位置。
定义 2.1 由小波函数族
,
()
ab
t
ψ
可以定义函数
2
() ( )
f
tLR∈
的连续小波变换
(CWT: Continuous Wavelat Transform) ()(,)Wf ab
ψ
：
()
( ) () () ()
,
1
,,
ab
tb
Wf ab ft t ft dt
a
a
ψ
ψψ
+∞
−∞
−
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
∫
0,ab>∈ (2-3)
其逆变换为
()
()
,
2
0
2
() , ()
ab
da
f
tWfabtdb
Ca
ψ
ψ
ψ
+∞ +∞
−∞
=
∫∫
()
()
2
0
21
,
tb da
Wf ab db
Caa
a
ψ
ψ
ψ
+∞ +∞
−∞
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2-4)
由式(2-3)可见，连续小波变换 ()(,)Wf ab
ψ
是 ()
f
t 在函数
,
()
ab
t
ψ
上的投影，它
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