小波分析理论--ppt

1.1 傅里叶变换到小波分析 1.2 常用小波函数介绍 1.3 连续小波变换 1.4 离散小波变换 1.5 矢量小波变换 1.6 多分辨分析与Mallat算法 1.7 提升小波变换 1.8 小波包分析 小波分析是一种强大的数学工具，尤其在信号处理和图像分析领域有着广泛的应用。它起源于对傅里叶变换的扩展，以解决非平稳信号分析的问题。傅里叶变换虽然在频域提供了完整的频率信息，但它无法揭示信号在时间上的变化，而小波分析则弥补了这一不足。 1. **傅里叶变换**是信号分析的基础，它将时间域的信号转换为频率域的表示。对于函数f(t)，其连续傅里叶变换定义为F(ω)=∫_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt，逆变换为f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{jwt}d\omega。离散傅里叶变换（DFT）是其在计算机处理中的形式，用于处理离散和有限长度的信号。 2. **小波分析**是傅里叶变换的延伸，它通过小波函数实现时频局部化分析。小波变换能够同时提供时间信息和频率信息，特别适合分析非平稳信号。小波函数可以调整其时间和频率分辨率，以适应不同频率成分的信号。小波变换分为连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT），其中DWT更适合计算机处理。 3. **多分辨分析**是小波分析的核心概念，它通过一系列不同尺度（分辨率）的子空间来分析信号。Mallat算法是实现多分辨分析的一种经典方法，通过分解和重构过程对信号进行小波分解和重构。 4. **提升小波变换**是DWT的一种优化形式，通过一系列简单的操作（提升步骤）来实现变换，降低了计算复杂度，提高了效率。 5. **小波包分析**进一步扩展了小波分析，它可以同时在多个频率尺度上获取信号的信息，提供了更为精细的时频分析能力。 6. **常用小波函数**如Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等，每种都有其特定的适用场景和特性。例如，Morlet小波结合了正弦波的频率特性与高斯函数的时间局部性，适用于非线性信号的检测。 小波分析的应用涵盖了音频分析、图像压缩、金融数据分析、生物医学信号处理等多个领域。它的灵活性和强大的分析能力使得小波成为现代科学与工程中不可或缺的工具。理解并掌握小波分析的原理和方法，对于解决复杂信号的分析问题至关重要。