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量子计算机及若干量子算法的改进

摘要

利用量子力学的叠加和交缠等特性进行的量子计算是计算技术的

巨大飞跃它能够比经典计算远为有效地解决一些问题例如最为

著名的Shor的算法原则上能够以多项式的时间因子化大的合数,从而

使得经典计算机难以计算的这一问题得以解决

本文从量子物理学基础开始谈起介绍了量子力学的基本假设和

叠加态交缠态及量子不可克隆定理通过对经典图灵机和量子图

灵机的比较介绍了量子位量子寄存器和量子逻辑门等量子计算

机原理和实用构造解决方案物理实现探索了至今所发现的一些

量子算法的基本原理和步骤研究了Shor算法发展和改进了离散

傅立叶变换

(

)

DFT 及快速傅立叶变换

(

)

FFT 在Shor算法上的应用提

高了算法效率探索了量子计算的优越性现状和发展前景同时

讨论了量子计算在物理学上的应用和意义

Shor算法显示了量子计算的效率可以远远超过经典计算同时

也开始了量子计算机研究的高潮 Shor算法的主要思想为首先利

用数论中的一些定理将大数因子分解转化为求一个函数的周期问

题而后者可以用量子快速傅立叶变换在多项式步骤内完成

设 N 为要分解的自然数首先随机地选择一个与N 互质的自然数

构造如下函数

(

)

(

)

mod

fxcN

其中mod N 表示

(

)

与

c 对 N 的余数相等只要求得

(

)

的周

期就能按一定程序得到 N 的一个因子求

(

)

的周期用的是量

子

DFT

算法

关键词

量子计算量子算法叠加交缠离散傅立叶变换, 快速傅立

叶变换

Ｑｕａｎｔｕｍ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ

ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

By exploiting quantum mechanical features such as super-position and

entanglement, quantum computing is a huge leap forward for computing technology.

It can solve certain problems much more effectively than classical computing. For

example, Shor’s algorithm could in principle factor large composite integers in

polynomial time, thus solving a problem that classical computers still find difficult to

calculate.

This article begins with the introduction of the foundation of quantum physics.

Then it explains the basic hypothesis of quantum mechanics, superposed state,

entangled state and nonclonability principle. After the comparison between classical

Turing and quantum Turing, it still explains the theory of quantum computers such as

qubits, quantum memory and quantum logical gate. Then it introduces the actual

solution of quantum computers(physical solution). The following explored the

fundamental principles and processes of the some quantum algorithms discovered so

far. It researchs Shor’s algorithm, develops and modifies the application of

DFT

and

FFT

on Shor’s algorithm, which makes more efficient. The advantages, current

progress and future prospects of quantum computing are explored. In addition, the

applications and significance of quantum computing in physics are discussed.

Shor’s algorithm shows that the efficiency of quantum computing is much faster

than classical computing, meanwhile its discovery started the climax of the research

of quantum computers. The main thought of the Shor’s algorithm is that changing the

factorization of big numbers into seeking the period of a function. And the latter can

be completed in multinomial steps by fast

DFT

Supposed N is the big number which should be decomposed. Firstly, select a

natural number c randomly and make such function

(

)

(

)

mod

fxcN

It is proved that once you get the period of

(

)

, then you are sure to get one

factor of the big number N by a certain process . And you can get to know the

period of

(

)

by the quantum

DFT

algorithm.

ＫＥＹ　ＷＯＲＤＳ：

Quantum computing, quantum algorithm，　 superposition,

entanglement

DFT

FFT

上海交通大学理学院数学系

2005 年 1 月

上海交通大学

学位论文原创性声明

本人郑重声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下

独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外

本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式

标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担

学位论文作者签名李力

日期 2005 年 1月 6日

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