matlab迭代法解线性方程组.doc

在MATLAB中，解决线性方程组是一个常见的任务，有多种方法可以实现，其中迭代法是一种有效且灵活的方法，特别是在处理大型稀疏矩阵时。本文档提供的MATLAB代码是用迭代法求解线性方程组的具体实现，主要涉及雅可比迭代法。 雅可比迭代法是一种迭代算法，用于求解线性方程组 Ax = b，其中A是一个方阵，x和b是向量。在雅可比迭代法中，假设A是严格对角占优的，即|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}| 对所有i都成立，这样迭代过程能够收敛。以下是雅可比迭代法的基本步骤： 1. 初始化：给定一个初始解向量x_0（通常是零向量）和迭代次数N，以及收敛精度e。 2. 计算矩阵的对角线元素、下三角矩阵（l）和上三角矩阵（u）。 3. 进行迭代：在每次迭代中，计算新解向量x_k+1，直到满足精度条件或达到最大迭代次数。迭代公式为：x_{k+1} = inv(D)*(L+U)*x_k + inv(D)*b，其中D是对角矩阵，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。 4. 检查收敛：如果解的改变量x_{k+1}-x_k的无穷范数小于精度e，或者达到最大迭代次数N，迭代停止。 在给出的代码中，`function x=ak(a,b)`函数实现了雅可比迭代法，参数a是系数矩阵，b是初始向量。函数内部首先初始化迭代次数N和精度e，然后生成一个n*1阶零向量作为初始解x_0。接着，利用MATLAB的`diag`函数生成对角矩阵D，`tril`和`triu`函数分别生成下三角矩阵L和上三角矩阵U。迭代过程由一个while循环控制，直到解的改变量满足收敛条件或达到最大迭代次数。 另一个函数`function X=BDD(f,x0,TOL)`则是用于实现一般不动点迭代法的，适用于非线性问题。函数接受一个迭代方程f，初始值x0，以及允许的误差值TOL。它通过不断将当前解代入迭代方程来更新解，并在连续两次迭代解的差的绝对值小于TOL时停止迭代。所有迭代结果被存储在矩阵X中，每列对应一次迭代的解。 这两个函数展示了MATLAB中迭代法求解线性方程组和非线性问题的基本思想和实现方式，对于理解和应用迭代法具有很好的参考价值。在实际应用中，选择合适的迭代方法和参数设置对算法的效率和收敛性至关重要，需要根据具体问题的特性进行调整。