Graham算法的程序设计.doc

【引言】 在计算机科学中，算法是解决问题的关键，它们为高效的编程提供了基础。Graham算法，特别是针对凸包问题的解决方法，是算法领域的一个重要组成部分。凸包问题涉及找到一个点集的最小边界，这个边界将所有的点包含在一个凸多边形内。在图形学、几何计算和许多其他应用中，凸包问题具有广泛的应用。 【算法】 2.1 算法的定义 算法是一系列明确的指令，用于解决特定问题或执行特定任务。在Graham算法中，其目标是找到给定点集的凸包。该算法由Ronald Graham于1972年提出，它首先通过选择一个最低点作为起始点，然后对剩余点按照与起点的角度进行排序，接着进行扫描以确定凸包上的点。 2.2 Graham扫描法 Graham扫描法的核心步骤包括： - **选取最低点**：从点集中找出最低点，作为凸包的起始点。 - **角度排序**：对剩余的点，根据它们与起始点连线的向量相对于x轴的顺时针角度进行排序。在某些情况下，可能需要考虑反时针角度，以确保算法的一致性。 - **扫描过程**：从左到右遍历排序后的点集，构建凸包。对于每个点，检查它是否与当前凸包形成的线段形成左转角度。如果是，就将其加入凸包；否则，忽略该点。 2.3 时间复杂度分析 Graham算法的时间复杂度主要由两个部分组成：排序和扫描。使用快速排序或归并排序等高效算法对点进行角度排序，时间复杂度为O(nlogn)。扫描过程的时间复杂度为O(n)。因此，总的时间复杂度是O(nlogn)，这是处理凸包问题的最优时间复杂度之一。 【算法实现】 在实际编程中，Graham算法可以通过以下步骤实现： 1. 寻找最低点，并将其设为第一个点。 2. 对剩余点按角度进行排序。 3. 初始化两个栈，一个栈保存当前已知的凸包边，另一个栈保存待检查的点。 4. 将最低点入栈。 5. 从排序后的点集中取出第一个点，与栈中的边比较，如果形成左转则入栈，否则跳过。 6. 重复步骤5，直到所有点检查完毕。 7. 栈中存储的就是凸包的顶点序列。 【总结】 Graham算法是解决凸包问题的有效工具，其效率高且易于实现。理解并掌握这种算法对于从事计算机图形学、机器学习、数据挖掘等领域的工作非常重要。尽管有其他如Jarvis步进法等算法可以处理凸包问题，但Graham算法因其简洁性和效率，仍然在很多场合下被优先选用。通过深入理解和实践，我们可以更好地利用算法的力量来解决实际问题。