算法设计与分析学习提纲，第十二章 NP完全问题.doc

【算法设计与分析学习提纲，第十二章 NP完全问题】 在计算机科学中，NP完全问题是一个极其重要的概念，它涉及到复杂度理论和算法设计。本章主要探讨了易解和难解问题的区别，以及计算相关性在解决这类问题中的作用。此外，还详细讲解了判定问题和优化问题的差异，以及如何将判定问题转化为优化问题。 **易解问题与难解问题** 易解问题指的是那些可以用多项式时间算法解决的问题，这意味着随着输入规模的增长，解决该问题所需的时间保持在较低的阶数。相反，难解问题通常需要指数时间或更长时间的算法，这在实际应用中通常是不可接受的。 **计算相关性** 计算相关性是指一类问题可以被归约为另一类问题。如果某一类问题可以被多项式时间算法解决，那么与之计算相关的问题也可以同样高效地解决。反之，如果某一类问题在多项式时间内无法解决，那么与其计算相关的问题也不会有高效的算法。 **判定问题与优化问题** **1. 判定问题**：这些问题只关心“是”或“否”的答案，例如，给定一个数组，是否能进行非降序排序？或者给定一个无向图，是否可以用k种颜色进行着色，使得相邻顶点颜色不同？ **2. 优化问题**：这些问题是关于找到最佳解决方案的，如最小化颜色数量来对图进行着色。判定问题可以通过转换为优化问题来解决，例如通过二分搜索策略找到图着色所需的最少颜色数。 **P类与NP类问题** **1. P类问题**： - **确定性算法**：每次运行对于相同的输入总能得到相同输出的算法。 - **P类判定问题**：这类问题可以用确定性算法在多项式时间内解决，如最短路径判定问题和可排序判定问题。 - **封闭性**：P类问题的补问题（如反向问题）仍属于P类，因为可以通过修改原算法得到解。 **2. NP类问题**： - **非确定性算法**：包含推测和验证两个阶段，非确定性算法在寻找可能的解后进行验证。 - **NP类判定问题**：这些问题在非确定性算法中可以在多项式时间内验证解的正确性，但不确定能否在多项式时间内找到解。 - **归约**：一个问题可以通过多项式时间转换为另一个问题，如果转换后的解也代表了原始问题的解，那么原问题就可归约为新问题，且NP类问题之间可以互相归约。 NP完全问题处于P类和NP类的交集，即它们是NP问题，而且如果有一个NP完全问题能在多项式时间内解决，那么所有的NP问题都能在多项式时间内解决。然而，至今尚未证明P类是否等于NP类，这是一个未解决的数学难题，即P=NP问题。 理解NP完全问题对算法设计和分析至关重要，因为它帮助我们识别哪些问题可能难以在实际中有效解决，并指导我们寻找近似算法或启发式方法来应对这些挑战。