### 线性规划知识点详解
#### 一、炼油厂采购原油的最优方案
**题目背景：**
某炼油厂需供应合同单位汽油15万吨、煤油12万吨、重油12万吨。原油从A、B两处采购，各处原油成分不同，且采购价格分别为200元/吨和310元/吨。
**关键数据：**
- **A处原油成分**：含汽油15%、含煤油20%、含重油50%、其他15%。
- **B处原油成分**：含汽油50%、含煤油30%、含重油15%、其他5%。
**目标**：找到最优采购方案以满足需求量，同时最小化采购成本。
**模型构建：**
1. **决策变量**：设从A处采购x吨原油，从B处采购y吨原油。
2. **目标函数**：总成本 = 200x + 310y → min
3. **约束条件**：
- 汽油需求：0.15x + 0.5y ≥ 15
- 煤油需求：0.2x + 0.3y ≥ 12
- 重油需求：0.5x + 0.15y ≥ 12
- x, y ≥ 0
**解题步骤**：
1. **绘制可行域**：通过画图找出所有约束条件下的可行解区域。
2. **求解**：利用线性规划的方法，找到使得目标函数最小化的解(x, y)。
#### 二、医院护士排班优化问题
**题目背景：**
医院24小时内各时段需要不同数量的护士。护士分六批上班，每批连续工作8小时。医院需确定最少护士人数以及正式工与合同工的最佳分配比例。
**关键数据：**
- 各时段护士需求量：2:00-6:00需10人，6:00-10:00需15人，10:00-14:00需25人，14:00-18:00需20人，18:00-22:00需18人，22:00-2:00需12人。
- 正式工报酬为10元/小时，合同工为15元/小时。
**目标**：确定最少护士人数及成本最低的人员配置方案。
**模型构建：**
1. **决策变量**：设正式工人数为x，合同工人数为y。
2. **目标函数**：总成本 = 10x + 15y → min
3. **约束条件**：根据每个时间段的需求量建立不等式约束。
**解题步骤**：
1. **构建约束条件**：将每个时间段的护士需求量转换为关于x和y的不等式组。
2. **求解**：利用线性规划方法找到成本最低的x和y的值。
#### 三、投资组合优化问题
**题目背景：**
某人拥有30万元资金，未来三年内有四个投资项目可供选择，需确定最优投资策略以最大化第三年末的本利和。
**关键数据：**
- 投资项目1：每年年初投资，每年获利20%，可再投资。
- 投资项目2：仅第一年年初投资，第二年末回收，本金加利息150%，限额15万元。
- 投资项目3：第二年初投资，第三年末回收，本金加利息160%，限额20万元。
- 投资项目4：第三年初投资，一年后回收，获利40%，限额10万元。
**目标**：确定最优投资策略以最大化第三年末的本利和。
**模型构建：**
1. **决策变量**：设在每个项目上的投资额分别为x1, x2, x3, x4。
2. **目标函数**：第三年末的本利和 → max
3. **约束条件**：根据每个项目的限额及总投资额建立不等式约束。
**解题步骤**：
1. **构建约束条件**：根据各个项目的限额和总投资额建立不等式约束。
2. **计算目标函数**：根据各个项目的收益计算第三年末的本利和。
3. **求解**：利用线性规划方法找到最优的投资组合(x1, x2, x3, x4)。
#### 四、糖果厂生产优化问题
**题目背景：**
某糖果厂利用原材料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C的含量、原料成本、原料限制用量、加工费及售价。需确定每月生产这三种牌号糖果的数量以最大化利润。
**关键数据：**
- 原材料成本及限制用量：A原料成本2.00元/公斤，限制用量2000公斤；B原料成本1.50元/公斤，限制用量2500公斤；C原料含量限制。
- 每种牌号糖果的加工费及售价。
**目标**：确定每月生产这三种牌号糖果的数量以最大化利润。
**模型构建：**
1. **决策变量**：设生产甲、乙、丙三种牌号糖果的数量分别为x、y、z。
2. **目标函数**：总利润 = (售价 - 成本) * (x + y + z) → max
3. **约束条件**：根据各种原料的限制用量建立不等式约束。
**解题步骤**：
1. **构建约束条件**：根据各种原料的限制用量及含量要求建立不等式约束。
2. **计算目标函数**：根据售价和成本计算总利润。
3. **求解**：利用线性规划方法找到最优的生产组合(x, y, z)。
