应用回归分析答案
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2014-03-18
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第二章
2.1 一元线性回归模型由哪些基本假定？
解：随机波动项 ε 满足正态
分布，且期望为 E(ε)=0，方差
为 D(ε)=,，即有。
2.2 考虑过原点的线性回归模
型，。误差仍满足基本假设。求的
最小二乘估计。
解：,
..
则得出，。
2.3 证明（2.27）式，。
2.4 回归方程的参
数的最小二乘估
计与最大似然估
计在什么条件下
等价？给出证明。
证明：在的正态假
定下，回归方程的
参数的最小二乘
估计与最大似然
估计等价。具体证明如下：
设，则有，的密度为
于是的似然函数为：
对数似然函数
为： （1）
对（1）式求最大
值，等价于对（*）求极小
值，即寻求使（*）式有极
小值。记，则有：
，
整理后，得正规方程组：
求解以上正规方程组得：
2
2
(0, )N
1i i i
y x
1, 2, ,i n
1 2
, , ,
n
1
2 2
1 1
1 1
ˆ ˆ
(0 )= ( )
n n
i i i
i i
Q e y x
，
1
ˆ
对 求偏导，则有
1 1
ˆ
1
=
1
1
ˆ
=-2 ( ) 0
n
i i i
i
Q
x y x
整理后，得：
2
1
1 1
ˆ
n n
i i i
i i
x x y
1
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y
x
1 1
0, 0
n n
i i i
i i
e x e
0 1
1 1
0 1
1 1
ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
0
n n
i i i
i i
e y x
ny n n x
ny n y x n x
0 1
0 0 0
2
1 1
0 0
2 2
1
0 0
0
0
ˆ ˆ
ˆ
( ) ( ( ))
ˆ ˆ
( )
ˆ
. ( )
( )( )
. .
0
n n n
i i i i i i i i
i i i
n n
i i i
i i
n n
i i i
i i
n
i i
n
i
i i xx
i
xx
x e x y y x y x
x y nx y x x
x y nx y x nx
x x y y
x y nx y L
L
0 1
( )E y x
0 1
,
2
(0, )
i
N
0 1
( )E y x
0 1
,
2
(0, )
i
N
2
0 1
( , )
i i
y N x
i
y
2
0 1
2
1
( )
2
1
( ) , 1, 2, .
2
i i
y x
i i
f y e i n
1
, ,
n
y y
2
0 1
2
1
1
n
( )
-
2
2 2
2
0 1
1
( , , ) ( )= 2
n
i i
i
y x
n
i i
i
L f y e
（ ）
2
2
0 1
2
1
1
ln( ) ln(2 ) ( )
2 2
n
i i
i
n
L y x
2
0 1
1
( )
n
i i
i
y x
0, 1
ˆ ˆ
2
0 1 0 1
1
( , ) ( )
n
i i
i
F y x
0 0
1 1
ˆ
0 1
1
0
ˆ
0 1
1
1
ˆ ˆ
2 ( ) 0
ˆ ˆ
2 ( ) 0
n
i i
i
n
i i i
i
F
y x
F
y x x
0 1
1 1
2
0 1
1 1 1
ˆ
( )
ˆ ˆ
( ) ( )
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
n x y
x x x y
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