该文主要探讨了一类无理函数值域的求解方法，并结合深度学习的教学策略进行了分析。文章以2019年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛中的一个具体题目为例，展示了四种不同的解题方法：等价变形法、导数法、三角换元法和数形结合法。这些方法在处理含有无理项的函数值域问题时各有优劣。
等价变形法通过分析函数在不同区间内的单调性来确定值域。对于函数f(x) = x^2 + x√x^2 - 3，作者指出当x大于或等于√3时，函数单调递增，最小值为3；而当x小于或等于-√3时，通过变形得到f(x) = 3/(1 + √(1 - 3/x^2))，利用不等式性质求得值域。
导数法通过计算函数的导数判断其单调性。对于f(x)，作者发现当x大于√3或小于-√3时，导数f'(x)始终大于或等于零，从而得出函数在整个定义域内单调递增，结合端点值确定值域。
第三，三角换元法在某些特定结构的函数中尤其有效。在本例中，可以令x = √3 secθ，通过三角变换简化问题，找到值域。
数形结合法是结合函数图像和代数性质解决问题。对于给定的函数，可以通过画出图像直观地观察其变化规律，辅助确定值域。
除了具体的解题方法，文章还讨论了基于深度学习的解题教学策略，包括：
1. **数据驱动**：利用大数据分析学生在解题过程中的常见错误，针对性地提供反馈和指导。
2. **模型构建**：通过深度学习建立数学模型，帮助学生理解和掌握问题的本质。
3. **个性化学习路径**：根据每个学生的学习进度和能力定制教学计划，确保深度学习的有效应用。
4. **情境化应用**：设计与现实世界相关的问题，让学生在实践中运用所学知识，提高问题解决能力。
作者将这些策略应用于两道综合试题的解题教学中，展示了深度学习如何提升教学效果和学生的学习体验。
文章不仅提供了求解无理函数值域的多种途径，还强调了在数学教育中融入深度学习技术的重要性，旨在改进传统教学方法，提升学生对复杂问题的理解和解决能力。
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