偏微分方程定解问题的有限元方法（Matlab）_何晓明有限元课程作业资源-CSDN文库

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二维定解问题

偏微分方程

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《有限元方法在偏微分方程定解问题中的应用》偏微分方程（PDE）在物理、工程、生物等多个领域中扮演着重要角色，解决PDE的定解问题是一项基础且关键的任务。有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，用于将复杂的PDE转化为简单的代数方程组，从而实现求解。本项目通过Matlab编程实现了对二维边值问题的有限元求解，以下将详细探讨相关知识点。 1. **有限元方法基础** 有限元方法的基本思想是将连续区域剖分成许多互不重叠的子区域（有限元），每个子区域内部的PDE近似为线性或多项式形式，然后通过变分原理将原问题转化为求解一系列离散的代数方程。 2. **二维边值问题** 在二维空间中，考虑具有边界条件的PDE，如热传导、流体力学等问题，可以采用有限元方法进行数值求解。项目中的"二维定解问题"是指在二维区域内寻找满足特定边界条件的解。 3. **矩形剖分** "矩形剖分"是有限元方法中常用的网格划分策略，将待解区域划分为多个矩形单元，简化了计算复杂性，同时也易于实现。在Matlab中，这通常通过自定义函数实现，如项目中的"Domain_PouFen.m"。 4. **刚度矩阵的计算** 刚度矩阵是有限元方法的核心，它反映了每个单元对整体解的贡献。"计算刚度矩阵"涉及节点插值、基函数选择和积分等步骤。项目中的"SLA.m"可能包含了这部分内容。 5. **代数方程的解** 将刚度矩阵与边界条件相结合，形成一个线性代数方程组。利用Matlab的内置函数，如"Main_Function.m"中的相关部分，可以有效地求解这个方程组。 6. **Gauss积分** "gauss_xy.m"可能是用于高斯积分的函数，高斯积分在有限元方法中用于精确计算单元积分，提高数值解的精度。 7. **FIBE.m** 和 **GK.m** 这两个文件可能是实现有限元计算核心功能的代码，如构建和求解系统矩阵，或者处理特定的偏微分方程模型。 8. **结果输出** "Result1.fig"和"Result2.fig"是图形输出文件，可能显示了求解得到的解的二维分布，直观地展示了问题的解空间特性。而"Result_cout.m"可能是处理和显示结果的脚本。通过以上分析，我们可以看到，这个项目不仅涵盖了有限元方法的基本概念，还涉及到具体的数值计算技巧，包括网格生成、矩阵组装、求解算法以及结果可视化等环节，为理解和应用有限元方法解决实际问题提供了良好的实例。

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PDE.rar （24个子文件）

SHJ.m 591B

Domain_PouFen.m 702B

GJE.m 297B

LUfenjie.m 542B

Result_cout.m 3KB

Result2.fig 28KB

Result1.fig 7KB

FIBE.m 2KB

GK.m 2KB

各节点直角坐标.txt 646B

gauss_xy.m 1KB

Main_Function.m 3KB

各节点、影响元素集、影响节点集对照表.txt 1KB

PXY.m 520B

GJP.m 615B

X_Y.m 532B

PXYLE.m 806B

GF.m 493B

总刚矩阵及右端列阵.txt 3KB

节点局部编码与总体编码对照表.txt 555B

SLA.m 895B

test.m 24B

AK.m 179B

QEB.m 632B

------------- 总刚矩阵 ------------------ 4.177083 -0.987847 0.000000 0.000000 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 4.177083 -0.987847 0.000000 0.012153 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 4.177083 -0.987847 0.000000 0.012153 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 2.088542 0.000000 0.000000 0.012153 -0.493924 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 0.000000 4.177083 -0.987847 0.000000 0.000000 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 -0.987847 4.177083 -0.987847 0.000000 0.012153 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 -0.987847 4.177083 -0.987847 0.000000 0.012153 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.493924 0.000000 0.000000 -0.987847 2.088542 0.000000 0.000000 0.012153 -0.493924 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 0.000000 4.177083 -0.987847 0.000000 0.000000 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 -0.987847 4.177083 -0.987847 0.000000 0.012153 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 -0.987847 4.177083 -0.987847 0.000000 0.012153 -0.987847 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.493924 0.000000 0.000000 -0.987847 2.088542 0.000000 0.000000 0.012153 -0.493924 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 0.000000 2.088542 -0.493924 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 -0.493924 2.088542 -0.493924 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.987847 0.012153 0.000000 -0.493924 2.088542 -0.493924 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.493924 0.000000 0.000000 -0.493924 1.029514 -------------- 右端列阵 --------------- -0.007028 0.017468 0.037235 0.136094 -0.004597 0.021573 0.041960 0.185298 -0.000474 0.028536 0.050053 0.173648 0.502994 0.019225 0.030767 -0.073748 --------------- 数值解 --------------- U[1] = 0.000000 U[6] = 0.000000 U[11] = 0.000000 U[16] = 0.000000 U[21] = 0.000000 U[2] = 0.000000 U[7] = 0.029146 U[12] = 0.066088 U[17] = 0.139027 U[22] = 0.357336 U[3] = 0.000000 U[8] = 0.064269 U[13] = 0.116722 U[18] = 0.166363 U[23] = 0.218661 U[4] = 0.000000 U[9] = 0.109023 U[14] = 0.178047 U[19] = 0.206752 U[24] = 0.200702 U[5] = 0.000000 U[10] = 0.182427 U[15] = 0.282186 U[20] = 0.284625 U[25] = 0.161208

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