离散数学是计算机科学中的基础课程，主要研究离散对象的结构和性质。在这个领域，命题逻辑是入门的重要部分，涉及到逻辑符号化、真值计算、等值演算以及推理理论等多个方面。以下是对这些知识点的详细解释：
1. **命题逻辑基本概念**：
- **命题符号化**：将自然语言表达的命题转化为逻辑符号，例如，p:2 是素数，q:5 是素数。根据真值表，p 和 q 都为真，所以 p∧q 的真值为 1，表示两个命题同时为真。
- **真值计算**：通过真值表确定复合命题的真假。例如，p∧q 的真值为 0 表示 p 和 q 至少有一个为假，p∨q 的真值为 1 表示至少有一个命题为真。
2. **命题逻辑等值演算**：
- **等价运算**：包括逻辑联接词如∧（合取，与）、∨（析取，或）、┐（否定）、→（蕴含）。通过德摩根定律、分配律、结合律等进行命题的简化和转换，例如 (p∧┐q)∨(p∧q) 可以转换为 p。
- **重言式**：无论变量取何值，其真值始终为真的命题。例如，p∨┐p 是一个重言式，因为它总是至少有一个子命题为真。
3. **命题逻辑的推理理论**：
- **推理形式结构**：推理过程通常以逻辑形式表示，比如 (p→q)∧p→q。正确的推理需要基于逻辑规则，如果形式结构是重言式，则推理正确。
- **蕴含推理**：例如，p→q 且 p 为真时，可以推出 q 也为真，这是蕴含推理定律。在例题中，(p→q)∧p→q 即蕴含推理定律的特殊形式。
- **主析取范式和主和取范式**：用于检验命题是否为重言式或矛盾式。主析取范式包含所有使命题为真的极小项组合，而主和取范式则是所有使命题为假的大项组合。
4. **应用举例**：
- **日期逻辑**：例如，p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三。根据常识，我们可以推断 p→q 为真，q→p 也是真，而 p→r 的真值取决于 p 的真值，如果 p 为真，则 p→r 为假。
- **整数性质**：如 a 的奇偶性。p:a 是奇数，q:a 能被 2 整除，r:a 是偶数。根据整数性质，可以推理出 r→┐p 为真，即如果 a 是偶数，那么 a 不能是奇数。
离散数学的答案涉及命题的符号化、真值计算、等值转换和推理验证等多个方面，这些都是理解逻辑和进行严谨论证的基础，对于学习计算机科学至关重要。通过解决这些练习题，学生可以深入理解和掌握离散数学的基本概念和技巧。
