### 高数微积分公式大全
#### 一、基本导数公式
1. **常数的导数**：\[ \frac{d}{dx}c = 0 \]
2. **幂函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \]
3. **指数函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}e^x = e^x \]
4. **自然对数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} \]
5. **正弦函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \]
6. **余弦函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \]
7. **正切函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \]
8. **余切函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x \]
9. **正割函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x \]
10. **余割函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x \]
11. **反正弦函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
12. **反余弦函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
13. **反正切函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2} \]
14. **反余切函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\text{arc}\cot x = -\frac{1}{1+x^2} \]
15. **反正割函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\text{arc}\sec x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \]
16. **反余割函数的导数**：\[ \frac{d}{dx}\text{arc}\csc x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \]
#### 二、导数的四则运算法则
- **加减法则**：若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的导数都存在，则 \(\left[f(x) \pm g(x)\right]' = f'(x) \pm g'(x)\)
- **乘法法则**：\((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
- **除法法则**：\(\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)
#### 三、高阶导数的运算法则
- **高阶导数的定义**：对于函数 \(y=f(x)\)，若其 \(n-1\) 阶导数 \(f^{(n-1)}(x)\) 存在且可导，则称 \(f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]'\) 为 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数。
- **一般形式**：若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的 \(n\) 阶导数都存在，则 \([f(x)g(x)]^{(n)}\) 可通过莱布尼茨公式计算。
#### 四、基本初等函数的 n 阶导数公式
1. \(\frac{d^n}{dx^n}(c) = 0\)
2. \(\frac{d^n}{dx^n}(x^m) = m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}\)
3. \(\frac{d^n}{dx^n}(e^x) = e^x\)
4. \(\frac{d^n}{dx^n}(\ln|x|) = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\)
5. \(\frac{d^n}{dx^n}(\sin x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
6. \(\frac{d^n}{dx^n}(\cos x) = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
#### 五、微分公式与微分运算法则
- **基本微分公式**：这些公式是基于基本导数公式的，例如 \(\mathrm{d}(x^n) = nx^{n-1}\mathrm{d}x\) 等。
- **运算法则**：包括加法、减法、乘法和除法的微分运算法则。
#### 六、微分运算法则
- **线性性**：\(\mathrm{d}(af(x) + bg(x)) = a\mathrm{d}f(x) + b\mathrm{d}g(x)\)
- **乘法规则**：\(\mathrm{d}(f(x)g(x)) = f(x)\mathrm{d}g(x) + g(x)\mathrm{d}f(x)\)
- **除法规则**：\(\mathrm{d}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{g(x)\mathrm{d}f(x) - f(x)\mathrm{d}g(x)}{[g(x)]^2}\)
#### 七、基本积分公式
- **幂函数的积分**：\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
- **指数函数的积分**：\(\int e^x dx = e^x + C\)
- **对数函数的积分**：\(\int \ln|x| dx = x\ln|x| - x + C\)
- **正弦函数的积分**：\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
- **余弦函数的积分**：\(\int \cos x dx = \sin x + C\)
- **正切函数的积分**：\(\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C\)
- **余切函数的积分**：\(\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C\)
- **正割函数的积分**：\(\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)
- **余割函数的积分**：\(\int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C\)
#### 八、补充积分公式
- **分母为根号下线性函数**：\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C\)
- **分母为根号下二次函数**：\(\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C\)
- **分母为根号下差的形式**：\(\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\)
#### 九、下列常用凑微分公式
- **常见函数的微分**：给出了一系列常见函数的微分形式以及对应的换元公式，用于简化积分过程。
#### 十、分部积分法公式
- **分部积分法**：通过选择适当的 \(u\) 和 \(dv\) 来简化积分问题，通常适用于乘积形式的积分。
- **基本形式**：\(\int u dv = uv - \int v du\)
#### 十一、第二换元积分法中的三角换元公式
- **三角换元法**：当积分涉及含有根号的二次式时，可以通过适当的三角代换来简化积分。
- **具体方法**：例如 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 用 \(x = a\sin\theta\) 或 \(x = a\cos\theta\) 换元等。
#### 十二、重要公式
- **特殊角度的三角函数值**：给出了一系列特殊角度的正弦、余弦、正切、余切函数值，如 \(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\) 等。
- **三角恒等式**：列出了一系列常用的三角恒等式，如和差公式、倍角公式、半角公式等。
#### 十三、常用等价无穷小关系
- **等价无穷小关系**：给出了当 \(x \to 0\) 时的一些重要函数之间的等价关系，这对于处理极限问题非常有用。
#### 十四、三角函数公式
- **两角和公式**：给出了一系列两角和或差的三角函数表达式。
- **二倍角公式**：列出了一系列二倍角的三角函数表达式。
- **半角公式**：给出了一系列半角的三角函数表达式。
- **和差化积公式**：列出了一系列将和差转换为乘积形式的三角函数表达式。
- **积化和差公式**：给出了一系列将乘积转换为和差形式的三角函数表达式。
- **万能公式**：给出了一系列通用的三角函数表达式。
- **三角函数的基本关系**：包括平方关系、倒数关系、商数关系等。
#### 十五、几种常见的微分方程
- **可分离变量的微分方程**：给出了一种形式的方程，并介绍了求解方法。
- **齐次微分方程**：介绍了一种特殊的微分方程及其解法。
- **一阶线性非齐次微分方程**：提供了解这类方程的一般形式及求解步骤。
以上内容涵盖了高等数学中微积分的主要公式和运算法则，是学习和应用微积分的重要工具。
