哈工大计算方法实验报告

实验题目 2 Romberg 积分法

摘要

考虑积分

欲求其近似值，可以采用如下公式：

（复化）梯形公式

 

（复化）辛卜生公式

 

是人们极为关心的课题。为此，记 为将区间 进行 等份的复化梯形积分结果，

为将区间 进行 等份的复化辛卜生积分结果， 为将区间 进行 等份的

复化柯特斯积分结果。根据李查逊（）外推加速方法，可得到

可以证明，如果 充分光滑，则有

 （ 固定）



这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。

该方法的计算可按下表进行

   …

  …

利用龙贝格积分法计算积分

程序设计流程：

．准备初值，计算

且 （ 为等份次数）

．按梯形公式的递推关系，计算

．按龙贝格公式计算加速值

．精度控制。对给定的精度 ，若

则终止计算，并取 作为所求结果；否则 ，重复  步，直到满足精度

为止。

问题 1

（） 程序运行如下：

)*  !"!!#!$%

%

（） 程序运行如下：

)*  !"!!#!$%

"%(

问题 2

（） 程序运行如下：

 )+$  !"!!#!$%

,,

,,

与（）的原因相同，函数在  处出现了 ")" 的情况，结果为无穷，此时应选择变换

，将积分变为 ，再进行变换 ，将积分变为

，变换后输入命令：

    !"!)!#!$%

((%

（） 程序运行如下：

 )+  !"!!#!$%

,,

函数在 " 处出现了 )" 的情况，结果为无穷。先将积分变为 ，再

函数在 !$ 处出现了 )" 的情况，结果为无穷。被积函数为偶函数，做变换

，积分变为

   !"!)!#!$%

'#

或者使用 ./$012 求积公式：

./  !012!$!!$%

'#

由于 ./$012 求积公式求的是 在 的积分因此此处的 为

。

问题 3

&&#

由于 ./$5 求积公式求的是 在 的积分因此此处的 为 。

（） 程序运行如下：