本书成形于斯坦福大学的同名课程讲义，该课自1970年以来每年都会开设．每年大约有50名学生选学这门课，有本科生，主要是研究生．他们毕业后逐渐在各地开设了类似的课程．由此看来，向更为广泛的读者（包含大学二年级学生）提供教材的时机已经成熟了．
具体数学诞生之际，正逢一个黑暗的、暴风骤雨般动荡的十年．在那些骚动不安的岁月里，长期秉承的价值观频频受到质疑，大学校园成了争论的温床．大学课程本身也受到挑战，数学同样难逃严重细究之厄运．John Hammersley刚刚写了一篇发人深省的文章“On the enfeeblement of mathematical skills by‘Modern Mathematics’and by similar soft intellectual trash in schools and universities”（《论中学和大学中被“现代数学”以及类似的软智力垃圾弄得日益衰弱的数学技巧》）[176]，其他颇感担忧的数学家们[332]甚至发问：“数学能得到拯救吗？”本书作者高德纳（Donald E. Knuth）撰写了名为The Art of Computer Programming（《计算机程序设计艺术》）的系列专著．在写第一卷时，他发现一些数学工具从他的数学武库中消失了．为透彻而扎实地理解计算机程序，他所需要的数学已经与他读大学数学专业时所学习的内容迥然不同．所以，他引入了一门新的课程，讲授他认为本该有人教授他的那些内容．
这门冠名“具体数学”的课程起初是为矫正“抽象数学”而设置的，那时，具体的经典结果正在被接踵而至的俗称“新数学”的抽象思想迅速摒弃在现代数学课程表之外．抽象数学是一个奇妙的主题，其中没有任何谬误，它既漂亮、通用，又实用．但是，它的拥护者们误以为，数学的其余部分都是低劣而不再值得关注的了．一般化的目标变得如此时髦，使得整整一代数学家变得不会欣赏具体数学之美，不能享受求解数量型问题的挑战，也不再重视技术手段之价值．抽象数学于是变得排外，并逐渐失去与现实的联系．数学教育需要增加具体的砝码以保持健康的平衡．
高德纳在斯坦福大学第一次讲授具体数学这门课时，说他打算讲授一门硬性而非软性的数学课，这也解释了这个略显古怪的课程名称．他宣称，与某些同事的期望相反，他既不打算讲授集合论，也不打算讲授Stone嵌入定理，甚至不讲授Stone- ech紧致化．（几位土木工程系的学生于是站起来，安静地离开了教室．）
尽管具体数学的起步是针对流行趋势的反动，但是它存在的主要理由是具有积极而非消极意义的．作为一门持续受欢迎的课程，它的题材得以“充实”并在各种新的应用中被证明是有价值的．Z. A. Melzak曾出版了两卷本的著作Companion to Concrete Mathematics [267] ，从另一个角度肯定了这一课程名称的恰当性．
具体数学的素材初看像是一堆互不相干的技巧，但是透过实践可以把它汇集成一组严谨高效的工具．的确，这些技术有基本的一致性，且对许多人都有极强的吸引力．当另一作者葛立恒（Ronald L. Graham）在1979年首次教授这门课时，学生们都感觉很有趣，以至于决定一年后举行一次班级聚会．
具体数学究竟是什么呢？它融合了连续数学和离散数学． 更具体地说，它是利用一组求解问题的技术对数学公式进行有控制的操作．理解了本书的内容之后，你所需要的就是一颗冷静的头脑、一大张纸以及较为工整的书写，以便对看上去令人恐怖的和式进行计算，求解复杂的递归关系，以及发现数据中隐藏的精妙规律．你会对代数技巧得心应手，从而常常会发现，得到精确的结果比求出仅在一定意义下成立的近似解更为容易．
这本书要探讨的主题包括和式、递归式、初等数论、二项式系数、生成函数、离散概率以及渐近方法．其重点是强调处理技术，而不是存在性定理或者组合推理，目的是使每一位读者熟悉离散性运算（如最大整数函数以及有限求和），就好像每一位学习微积分的学生都熟悉连续性运算一样（如绝对值函数以及不定积分）．
注意，这些主题与当今大学本科中的“离散数学”课程的内容截然不同．因此，这门课程需要一个不同的名称，而“具体数学”可谓恰如其分．
最初在斯坦福大学教授“具体数学”的教材是The Art of Computer Programming[207]中的“Mathematical Preliminaries”（数学预备知识）一节．但是，那110页的内容相当简洁，所以另一位作者欧伦·帕塔许尼克（Oren Patashnik）受到启发，撰写了一套长篇幅的补充笔记．
这本书就是那些笔记的产物，它扩充了“数学预备知识”中的资料，也更从容地引出了这些预备知识，其中略去了那些较高深的部分，同时又包含了笔记里未提及的主题，使得书的内容更为完整．
我们很享受一起写这本书，因为这门课程就在我们眼前逐渐定型，获得了生命，它就看似是自己写就的．此外，我们这些年来在若干地方采用的非常规方法看起来也十分妥帖，让人忍不住认为，这本书正好宣告了我们所喜爱的做数学的方式．所以我们想，这本书就像讲述数学之美之奇的故事，希望读者能够分享我们写作中的愉悦，哪怕只有ε那么一点点．
自从本书在大学环境中诞生以来，我们就一直尝试以非正式的风格来体现当代课堂教学的精神．有些人认为数学是一项严肃的工作，必须是冷冰冰的，但是我们认为数学是娱乐，而且并不羞于承认这个事实．为什么要把工作和娱乐截然分开呢？具体数学充满了引人入胜的模式，其演算推理并非总是轻而易举，然而答案却可能极具魅力．数学工作的欢乐和忧伤都鲜明地反映在这本书中，因为它们是我们生活的一部分．
学生们总是比老师们更有头脑，所以我们请这个教材的首批学生提出他们坦诚的意见，即旁注中的“涂鸦”．在这些“涂鸦”中，有一些仅仅是套话，有一些则很深奥；有一些提醒区分歧义或者含混之处，有一些则是后排那些聪明家伙爱做的点评；有一些是正面的，有一些是负面的，还有一些则不偏不倚．但是，它们都是情感的真实表现，应该有助于读者理解正文内容．（这种旁注的灵感来自名为Approaching Stanford（《走近斯坦福》）的学生手册．在这本手册中，官方的大学信息与即将离校的学生评论相映成趣．例如，斯坦福大学说：“在斯坦福大学这个无定型的生活方式中，有一些东西是你不能错过的．”而旁注中写道：“无定型……鬼知道是什么意思？这里到处都是典型的伪理智主义．” 斯坦福大学说：“一群住在一起的学生，他们的潜力是无穷尽的．”而涂鸦则声称：“斯坦福大学的宿舍就像无人管理的动物园．”）
旁注中也直接引用了著名数学家们的话，这些话是他们在宣布某些重大发现时所说的．看起来，将莱布尼茨、欧拉、高斯等人的话与那些继续其研究工作的人的话混在一起是合适的．数学是身处各地的人进行的不间断的探索研究，涓涓细流才能汇成浩瀚的海洋．
这本书包含了500多道习题，分成如下六大类．
热身题：这是每一位读者在第一次阅读本书时就应完成的习题．
基础题：这些习题揭示出了，通过自己的推导而不是他人的推导来学习最好．
作业题：是加深理解当前章节内容的问题．
考试题：一般同时涉及两章以上的内容，可作为家庭测试题（不作为课堂上的限时考试）．
