基础几何学之一：圆与三角学

基础几何学之一：三、圆与三角学.doc 香港科技大学项武义讲义之一. 总共四个部分（已上传，请分别下载）： （1）目录+引言.doc （2）一、连结、分隔与对称.doc （3）二、平行性与定量平面几何基础理论.doc （4）三、圆与三角学.doc 《基础几何学之一：圆与三角学》是香港科技大学项武义教授的讲义内容，主要探讨了圆和三角形在平面几何中的重要性。在几何学中，圆以其完美的对称性和三角形的简洁性成为了研究的核心。这部分内容主要涉及以下几个知识点： 1. **三角形的面积公式、相似三角形定理和勾股定理**： - 三角形面积公式：面积 = 底 × 高 / 2。 - 相似三角形定理：如果两个三角形的三个内角对应相等，那么它们的三对对应边成比例。 - 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。 2. **正弦和余弦函数**： - 正弦和余弦函数是解析几何和周期函数分析的基础，它们起源于圆周运动，反映了圆的几何性质，尤其是对称性。 - 在单位圆上，动点P(x, y)的坐标x和y分别定义为t时刻的余弦和正弦函数。 3. **三角学的基本性质**： - **周期性**：余弦函数和正弦函数都是周期函数，周期为2π。 - **对称性**：正弦和余弦函数关于x轴和y轴对称，以及关于直线y=x对称。 - **旋转对称性**：通过角度α的旋转，正弦和余弦函数的性质可以通过复角公式表达。 - **复数表示**：复数z=x+iy可以用极坐标(r, θ)表示，其中r是绝对值，θ是幅角，复数乘法规律体现了角度的相加。 4. **三角定律**： - **正弦定律**：三角形的面积公式和正弦定律揭示了边长和内角之间的关系。 - **余弦定律**：通过垂直投影，可以建立边长和内角余弦值的关系，解决了S.S.S.、S.A.S.、A.S.A.等叠合条件下的问题。 - **正弦定律的证明**：正弦定律可以通过余弦定律推导，也可以通过外接圆和圆周角的性质进行证明。 5. **三角形的几何量**： - 三角形的边长、内角、面积、外径和内径等几何量之间存在复杂的关系，这些关系构成了三角定律的基础。 这章节深入研究了圆与三角形在解析几何中的相互作用，揭示了它们在几何学中的核心地位，同时介绍了正弦和余弦函数的性质及其在三角定律中的应用。这些基础知识对于理解和应用平面几何至关重要，也对后续学习更高级的数学概念，如复数和向量，奠定了坚实的基础。