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基础几何学之一:目录+引言.doc 香港科技大学项武义讲义之一. 总共四个部分(已上传,请分别下载): (1)目录+引言.doc (2)一、连结、分隔与对称.doc (3)二、平行性与定量平面几何基础理论.doc (4)三、圆与三角学.doc
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基础几何学
引言:空间的基本概念与基本结构
一、连结、分隔与对称----定型平面几何
二、平行性与定量平面几何基础理论
三、圆与三角学
四、空间中的平行与垂直----平直性与对称性的交互作
用
五、向量几何和向量代数----空间结构的系统代数化
六、坐标解析几何简介
七、球面几何和球面三角学
八、圆锥截线的故事
引言:空间的基本概念与基本结构
项武义
几何学乃是人类理性文明,对于我们和大自然中的万物万象共存于其中的空间
的「认识论」。宇宙中的所有事物皆存在于其中、发生于其内,当然也永远受
着空间本质的制约与蕴育。几何学的课题也就是去研究、理解空间的本质,它
是我们研讨大自然、理解大自然的自然起点和基石所在;它也是整个自然科学
的启蒙者和奠基者,是理所当然的第一科学。不论在自然科学的发展顺序上,
或在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,也是种种
科学思想和方法论的自然发祥地。它源远流长,历经数千年世代相承精益求精
的研究和逐步逐阶的进展,至今依然根深干粗,蓬勃茁壮。在现今廿一世纪,
它会继续是开拓新知的有力工具,而自然科学的拓展又必然对于空间几何学的
理解深度和广度提出新的要求和问题。总之自然科学和几何学的进展是密切相
关、相辅相成的。伽利略 (Galileo) 曾说:「上帝必定是一个几何学家 (God
must be a geometer)。」其所指也许就是上述自然科学和几何学之间的自然
结合。
自古到今,几何学的研究在方法论上大体可以划分成下述几个阶段:
(1)
实验几何:用归纳实验去发现空间之本质。
(2)
推理几何:以实验几何之所得为基础,改用演译法,以逻辑推理去探索新知,并对
于已知的各种各样空间本质,精益求精地作系统化和深刻的分析。在这方面,古希
腊文明获得了辉煌的成就,它也是全人类理性文明中的重大篇章。
(3)
坐标解析几何:笛卡儿 (Descartes) 和费玛 (Fermat) 通过坐标系的建立,把当代数学
中的两大主角——几何学和代数学——简明有力地结合起来,开创了近代数学的先
河。其自然而然的结果是微积分的产生和大量地运用解析法研讨自然现象。
(4)
向量几何:从现代的观点来看,空间最为根本而且控制全局的本质乃是由它的所有
保长变换所构成的变换群 (transformation group) ,通常又称之为 3-维的欧氏群
(Euclidean group of ) , 而 几 何 学 所 研 究 者 就 是 这 个 变 换 群 的 不 变 量 理 论
(invariant theory) 。因为所有几何量都根源于长度,所以必然在保长变换之下保持
不变;反之,任何在保长变换群的作用之下保持不变的(亦即不变量—invariants)
也都具有几何意义,而且也一定根源于长度。向量几何在本质上乃是坐标解析几何
的返璞归真,它的最大优越性在于向量运算的正交不变性 (orthogonal invariance)。
可 以 说 ,向 量几 何乃 是不 依 赖 于 坐 标系 的解 析几 何 (coordinate-free analytical
geometry),它自然而然地化解了原先在坐标解析几何中,由坐标系的选取所引入的
各种各样(非几何的)非不变量的困扰! Hamilton 和 Grassmann 分别是 3-维和高
维的向量代数的创始者。
基本概念和基本结构
位置 (location) 是空间的基本概念之中最为原始者。空间本身其实就是宇宙之
中所有可能的位置的总体。在几何学的讨论中,通常用点 (point) 来标记位置,
所以点其实就是位置的抽象化 (abstraction)。当一个动点 (moving point)
由一个位置移动到另一位置,其所经过的点组成这个运动的通路 (path)。连结
于空间各地之间的通路则是空间基本概念中第二个最原始者。再者,光线的普
遍存在和我们的视觉很自然地启示我们,并促使我们认识到空间的基本结构乃
是:
「连结给定两点之间的所有通路之中,有一条唯一的最短通路——它就是
连结两点的直线段。」
这也就是在我们日常生活的大气层内,或者在太空中,光由一点射向另一点所经过的通路
亦即我们常见的光线 (light rays)。再者,我们日常的经验是:若不受阻碍,光线是会一直
向前无限延伸的。射线 (ray) 这个基本几何概念就是上述这种可以无限向前延伸的光线的抽
象化,而空间中给定相异两点 { A,B} 所确定的直线则是由 A 射向 B 的射线和由 B 射向 A
的射线的和集 (union)。总结上述的讨论,空间的基本结构可以描述如下:
【基本几何结构】:对于空间给定相异两点 { A,B} 存在有唯一连结于 A, B 之
间的最短通路,称之为连结 A,B 的直线段 (interval),将以符号 表示之。
再者由 A 到 B 的最短通路可以向前无限延伸,称之为由 A 射向 B 的射线,将
以符号 表示之。而该线段向两端无限延伸的通路,亦即 ,则称
之为由 { A,B} 所唯一确定的直线 (straight line),将以符号 AB 表示之。
[ 图 0-1 ]
[注]:点是最为原始的几何事物 (geometric object),所有其它的几何事物都
是由点组合而成的。直线段和直线则是第二种最为原始的几何事物,所有其它
的几何结构和性质都是由它们所表达的基本结构来刻划和表述的。
直线和直线段之间,显然有下述基本关系:
直线上的次序与分隔:
(i)
是 AB 的一个子集。若 而且 或 B ,则称 C 位于 A, B 之间。
再者,若 则 。
(ii)
直线 上任给一点 P 把直线 分割成两段,称为 P 的两侧。属于同侧的两点 A
1
, A
2
其直线段 不包含 P;而属于异侧的两点 A, B 其直线段 则包含 P。
设 { A,B,C} 是 中的相异三点,而且 ,则 和 中有一且
仅有一包含 P 。再者,由相异两点定一直线段(或一直线)这两种密切相关的
空间基本结构,就可以自然地定义下述两种和两者各别兼容的子集。
【定义】:空间中的子集 若满足性质:
则称 为一个凸子集 (convex subset)。
【定义】:空间中的子集 若满足性质:
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tuqu
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