Contents iii
6.2 Numerical Inverse Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2.1 Newton–Raphson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2.2 Numerical Inverse Kinematics Algorithm . . . . . . . . . 227
6.3 Inverse Velocity Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4 A Note on Closed Loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.7 Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7 Kinematics of Closed Chains 245
7.1 Inverse and Forward Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.1 3×RPR Planar Parallel Mechanism . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.2 Stewart–Gough Platform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.1.3 General Parallel Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.2 Differential Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.2.1 Stewart–Gough Platform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.2.2 General Parallel Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.3 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.5 Notes and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8 Dynamics of Open Chains 271
8.1 Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.1.1 Basic Concepts and Motivating Examples . . . . . . . . . 272
8.1.2 General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.1.3 Understanding the Mass Matrix . . . . . . . . . . . . . . 279
8.1.4 Lagrangian Dynamics vs. Newton–Euler Dynamics . . . . 281
8.2 Dynamics of a Single Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.2.1 Classical Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.2.2 Twist–Wrench Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.2.3 Dynamics in Other Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.3 Newton–Euler Inverse Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.3.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.3.2 Newton-Euler Inverse Dynamics Algorithm . . . . . . . . 294
8.4 Dynamic Equations in Closed Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.5 Forward Dynamics of Open Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.6 Dynamics in the Task Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
8.7 Constrained Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
May 2017 preprint of Modern Robotics, Lynch and Park, Cambridge U. Press, 2017. http://modernrobotics.org
