2012年研究生数模竞赛B题

### 基于逐点交汇定位的轨道建模与改进粒子群算法下的误差估计 #### 摘要 本文探讨了一种基于双经纬仪交汇定位模型和变质量动力学微分方程模型的方法，用于估算空间飞行器在卫星无源探测下的轨道。该方法旨在通过消除随机误差和分析系统误差来提高轨道估计的准确性。具体步骤包括： 1. **微分方程数值解的求解**：基于卫星相对于地球的二体轨道模型，利用Runge-Kutta方法求解微分方程数值解，得到09星相对于基础坐标系的运动轨迹。 2. **交汇定位模型的应用**：将两颗空中运行的卫星视为双经纬仪，通过建立交汇定位模型、空间坐标系转换模型和时间对齐操作模型，获取0号空间飞行器的一系列观测坐标。 3. **观测数据的平滑处理**：通过多项式拟合的方法对观测数据进行平滑处理，去除高频背景噪声，并给出残差的标准差最小的理论保证。 4. **变质量动力学微分方程的求解**：基于合理的燃料喷射速度和飞行器瞬时质量模型，使用线性回归方法求解所有未知参数。 基于以上模型理论，本文通过数值实验验证了该方法的有效性。此外，还提出了一个基于误差理论的最优化模型，以估计三轴指向误差在观测数据平面上引起的观测系统误差，并使用贪心算法和粒子群算法求解该模型。 #### 关键技术与方法 - **交汇定位模型**：该模型利用两个观测点（在本例中为两颗卫星）的位置信息，通过立体几何关系确定目标物体的位置。这种交汇定位方法特别适用于无源探测器的情况。 - **Runge-Kutta方法**：这是一种广泛使用的数值积分方法，用于解决常微分方程。在本文中，它被用来求解卫星相对于地球的运动方程。 - **多项式拟合**：通过对观测数据进行多项式拟合，可以平滑数据并减少噪声的影响。这种方法在信号处理中非常常见，有助于提高数据的质量。 - **线性回归**：在线性回归中，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差之和来找到最佳拟合直线。本文中，线性回归被用于估计变质量动力学微分方程的未知参数。 - **粒子群算法（PSO）**：这是一种启发式的全局优化方法，灵感来源于鸟群的觅食行为。在本文中，PSO被用来寻找最优解，特别是在解决最优化模型时。 - **最小二乘法**：这是一种统计学方法，用于拟合观测数据，通过最小化残差平方和来找到最佳拟合曲线或平面。本文中，最小二乘法被用来评估多星观测时的联合误差。 #### 实验结果与分析 - **0号空间飞行器的轨道估计**：基于交汇定位模型和平滑处理后的观测数据，获得了0号空间飞行器的轨道估计。结果显示，该方法能有效地减小观测中的随机误差对结果的影响。 - **系统误差估计**：通过建立基于误差理论的最优化模型，成功估计了系统误差。数值结果证明了该方法的高效性和准确性。 - **单星或多星观测情况下的应用**：分析了单星观测和多星观测下的轨道估计问题，并提出了相应的解决方案。 #### 结论 本文提出的方法不仅有效解决了基于无源探测的空间飞行器轨道估计问题，而且还能够在存在随机误差和系统误差的情况下提供准确的轨道参数估计。通过MATLAB软件实现的数值实验验证了这些方法的可行性和有效性。未来的研究可以进一步探索如何更精确地处理复杂环境下的系统误差，并提高轨道估计的精度。