Pade逼近概论--学习数值逼近的人必学的一本书，本书经典、权威

Pade逼近是一种在数值分析中广泛使用的方法，它通过构造一个有理函数逼近给定的形式幂级数，使得这个有理函数的泰勒展开与原级数的尽可能多的项相吻合。这种方法的优点在于能够克服泰勒级数逼近中常见的收敛速度慢或收敛范围窄的缺点，尤其适合于那些泰勒级数不太适用的函数。 Pade逼近的定义可以从多个角度出发，这里主要介绍了三种定义方式，并探讨了它们之间的关系以及存在性和唯一性。对于Pade逼近式，给出了具体的表示方法，并且详细阐述了Pade逼近式的一些基本性质。在这部分中，特别强调了指数函数的Pade逼近式的独特性质以及它们在微分方程数值解法中的特殊作用。 在Pade逼近的应用上，通过具体例子来说明有理逼近如何改善泰勒级数的逼近效率，扩大逼近范围。例如，在一个例子中，对于一个具有良好的光滑性质但在半径大于0.5时发散的泰勒级数，通过Pade逼近可以得到较好的逼近效果，甚至在发散点处依然有效。 通过两个例子，展示了Pade逼近在处理泰勒级数发散或收敛慢的困难时的显著优势。其中一个例子通过分式线性变换的技术，将原始函数进行变量替换，使得在变换后的区间内级数收敛，然后通过恢复原始变量得到一系列的有理逼近式。这些逼近式不仅在原函数的收敛区间上有效，在其他区间上也有很好的逼近性能。 Pade逼近法之所以经典和权威，是因为它提供了一种从形式幂级数出发，构造有理函数逼近式的简洁有效的方法。这种方法不仅能提高逼近效率，还能扩展逼近范围，尤其在应用数学和数值分析中非常有用。Pade逼近被广泛应用于求解微分方程、分析函数的性质、以及发展各种数值方法等领域。 作为选读材料，还简要介绍了多点Padé逼近的概念，也就是有理插值问题。在实际应用中，有理逼近不仅可以作为纯数学领域研究函数性质的工具，也是在应用数学中发展出来的方法之一，尤其在数值计算领域具有重要的地位。因此，掌握Pade逼近理论对于学习数值逼近的人来说是不可或缺的知识。