### 第五届北航程序设计大赛网络赛 解题报告
#### A. 圣诞节礼物
**题目大意**
本题要求判断一个数组A中是否包含另一个数组B的所有元素。
**题目解法**
为了简化问题，可以先对数组A和B进行排序。排序之后，再逐一比较数组B中的每个元素是否都能在数组A中找到对应位置的匹配项。
例如，假设数组A初始为`{1,2,3,4,5,78,33,22,2,1}`，数组B为`{2,2,4}`。
排序后的数组A为`{1,1,2,2,3,4,5,22,33,78}`，数组B为`{2,2,4}`。
接下来，按顺序在数组A中查找数组B中的元素：
1. 查找B的第一个元素2：在A中找到匹配项；
2. 继续查找B的第二个元素2：同样在A中找到匹配项；
3. 最后查找B的第三个元素4：在A中找到匹配项。
由于B中所有元素均能在A中找到对应匹配项，因此答案是Yes。
若数组A排序后为`{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}`，数组B为`{2,3,5,90}`，按照上述方法查找后发现无法在A中找到B的最后一个元素90的匹配项，因此答案是No。
**效率分析**
对于排序操作，时间复杂度为O(|A|log|A| + |B|log|B|)，其中|A|、|B|分别表示数组A和B的长度。线性查找的时间复杂度为O(|A| + |B|)。因此，整个算法的时间复杂度主要由排序操作决定，即O(|A|log|A|)。
考虑到当|A| < |B|时，可以直接返回-1，因此实际情况下只需要考虑|A| >= |B|的情形。最终的时间复杂度为O(|A|log|A|)。
#### B. 隐藏的BUAA
**题目大意**
本题要求在一个矩阵中找出字符串“BUAA”的出现次数。
**题目解法**
- **深度优先搜索**
- 首先定义目标字符串pattern为"BUAA"。
- 从矩阵的每一个位置出发，尝试向上下左右四个方向进行深度优先搜索。
- 如果当前位置上的字符与目标字符串pattern的当前位匹配，则递归地检查下一位。
- 当pattern的全部字符都匹配成功时，计数器加一。
**深度优先搜索核心伪代码**
```pseudocode
char pattern[1..|pattern|] = {"BUAA"};
DFS(int i, int x, int y)
{
if (pattern[i] == map[x][y]) {
for each of the four directions
DFS(i+1, x', y');
if (i == |pattern|) {
// 找到一个完整的匹配
count++;
}
}
}
```
- **动态规划**
- 动态规划也可以用来解决这个问题，通过构建一个三维DP表来记录从当前位置出发找到目标字符串的前缀的方案数。
- DP[i][j][k]表示从位置(i, j)出发，当前已匹配到pattern的第k个字符的方案数。
- 初始状态DP[i][j][0] = 1，表示所有位置都可以作为起始位置。
**动态规划核心伪代码**
```pseudocode
int DP[n][m][|pattern|];
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < m; j++)
DP[i][j][0] = 1;
for (int k = 1; k <= |pattern|; k++)
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (map[i][j] == pattern[k]) {
for each of the four directions
DP[i][j][k] += DP[x'][y'][k-1];
}
}
```
**效率分析**
- **深度优先搜索**
- 在最坏的情况下，可能需要遍历整个矩阵的每一个位置，时间复杂度为O(n * m * |pattern|)。
- 实际上，如果pattern较长，且匹配情况较少，则DFS可能会提前终止很多次，平均效率会更高。
- **动态规划**
- 构建DP表的时间复杂度为O(n * m * |pattern|)。
- 空间复杂度同样为O(n * m * |pattern|)。
**分析比较**
- 深度优先搜索更适用于模式字符串较短的情况，因为其空间开销相对较小。
- 动态规划虽然空间开销较大，但在模式字符串较长或重复匹配较多的情况下，效率通常更高。
**易错点**
- 在深度优先搜索中，需要注意避免重复访问同一位置。
- 动态规划中需要正确处理边界条件以及初始化DP表。
